M-am deranjat cu motivația din spatele definirii unei viteze cu patru. În Schutz „s Un prim curs în Relativitate generală , el folosește conceptul de vector tangent în fiecare punct al liniei lumii a unei particule dat de $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Și mai târziu afirmă că
\ begin {ecuație} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {ecuație}
Explicația matematică pe care am găsit-o pentru utilizarea timpului corespunzător ca parametru pe care toți observatorii sunt de acord, dar nu pot să realizez ce probleme obținem cu această definiție, folosim relația
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {ecuație}
unde $ t $ este măsura timpului într-un anumit cadru inerțial S.
Comentarii
- Nu ' nu cred că ' ați pune această întrebare în spațiul euclidian. Luați în considerare o curbă $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Apoi se pot scrie vectorii tangenți ca $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. SAU am putea urma ultima sugestie și să folosim $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Vectorul tangent va indica în continuare calea corectă, dar nu va fi lung r este bine definit, iar definiția nu vă mai permite să rotiți într-un mod care amestecă coordonatele, deoarece selectează $ x $.
- Cartea nu explică undeva că viteza de patru este definită în acest fel, astfel încât să fie un Lorentz cu patru vectori?
- @ jacob1729 îmi poți da un exemplu? ' sunt destul de confuz cu acest subiect
Răspuns
@Milan a răspuns deja problemelor tehnice ale definiției dvs.
Aș dori să subliniez problemele conceptuale. Am dori ca viteza 4 să caracterizeze cumva mișcarea unui obiect prin spațiu-timp. Din punct de vedere conceptual, este logic să cerem ca o astfel de cantitate să depindă numai de cantitățile care au legătură directă cu acea mișcare. Așadar, aducerea timpului unui observator aleatoriu care nu are nimic de-a face cu mișcarea obiectului ar fi o decizie ciudată din punct de vedere conceptual. Este logic să definim viteza 4 ca vector tangent la linia lumii a obiectelor, deoarece această entitate matematică este direct legată de și, prin urmare, și cu mișcarea obiectelor. Desigur, avem nevoie de o anumită parametrizare a liniei lumii, care ar fi în mod ideal naturală pentru linia lumii / mișcarea în sine și nu depinde de nicio cantitate externă. Deoarece în spațiu-timp, fiecare obiect are propriile ceasuri, această curbă este parametrizată în mod natural de ceasul obiectului însuși, adică de timpul potrivit.
Rețineți că, în acest fel, nu trebuie să vorbiți deloc despre grupul Lorentz. Când am aflat pentru prima dată despre viteza 4, decizia de a folosi timpul adecvat în derivată mi s-a părut ca o decizie aleatorie doar pentru a face ceva Lorentz 4-vector. Dar are de fapt motive geometrice mai profunde, așa cum am încercat să explic.
Comentarii
- Puteți recomanda o carte de relativitate care să explice aceste subiecte așa cum ați explicat?
- @Lil ' Gravitatea nu este cu adevărat, dar îți pot oferi trei cărți care se remarcă personal pentru mine. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitația explică relativitatea generală și geometria diferențială la un nivel foarte intuitiv – împreună cu motivațiile fizice pentru cea mai mare parte a matematicii, iar Wald – Relativitatea generală este o carte excelentă pentru o abordare mai formală, geometrică, pentru a vedea clar cum sunt definite conceptele abstract, fără a fi nevoie de un sistem de coordonate. Apoi, există Fecko – Geometrie diferențială și grupuri Lie pentru fizicieni, pe care le consider a fi cel mai bun manual despre geometrie diferențială.
Răspuns
Prima definiție se transformă în patru vectori: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
A doua definiție nu se transformă în patru vectori: $ \ dfrac {dx ^ {„\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt „} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Acest lucru are sens, deoarece în prima definiție împărțiți diferențialele unui vector cu patru (care se transformă și ele ca un patru -vector) de un scalar (invariant sub grupul Lorentz).