Am nevoie să calculez numărul de fotoni dintr-un fascicul de lumină de putere $ P $ . Știu că are o putere constantă $ P $ pe toată lungimea de undă $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Deci, pentru a calcula acest lucru, am folosit o formulă care a fost dată într-o altă întrebare SE:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Este bine și, folosind acest lucru, am venit cu $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Dar nu sunt complet convins de această formulă, deoarece nu pot să o deriv din $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
Răspunsul pe care îl obțin din formulă pare corect, dar am nevoie de dovezi pentru asta.
Sursa ecuației: Numărul de fotoni
Comentarii
- Deci, care este expresia pentru $ dE / d \ nu $ pe care l-ați folosit pentru a vă evalua integralul?
- Ei bine, puterea este distribuită uniform pe interval, așa că am spus $ E = h \ nu $, deci $ dE / d \ nu = h $
- De ce nu $ E = 2h \ nu $ ? Există multe posibilități De ce alegeți una specifică? Ecuația $ E = h \ nu $ este legată de energia unui singur foton. Ce se întâmplă dacă nu aveți o sursă cu foton unic? Chiar dacă sursa dvs. este un foton unic. Aceste lucruri produc de obicei multe mii de impulsuri de foton unic pe secundă, așa că din nou, alegerea dvs. pentru $ E $ pare ciudată.
- Nu ' nu este atât de ciudat . Am ' m calculând numărul total de fotoni emiși de sursă și sunt distribuiți uniform. Prin aceasta vreau să spun că puterea este aceeași pentru fiecare frecvență din gamă. Deci $ E = h \ nu $ ar trebui să fie funcția pe care o doresc. Dacă nu, vă rog să mă corectați
Răspuns
Puterea este cantitatea de energie transmisă pe secundă, deci ați câștigat ” nu pot calcula numărul de fotoni. În schimb, veți calcula numărul de fotoni pe secundă. Am $ P $ pentru a însemna puterea totală a fasciculului în cadrul frecvenței variază de la $ \ nu_1 $ la $ \ nu_2 $ .
Numărul de fotoni pe secundă într-un interval spectral mic $ \ delta \ nu $ va depinde de raportul puterii fasciculului în acel interval spectral, de energia per foton din interval spectral.
Puterea fasciculului este egală cu numărul de fotoni pe secundă, împărțit la energia pe foton. Fotonii au o gamă de frecvențe, $ \ nu_1 $ prin $ \ nu_2 $ . Problema afirmă că puterea este aceeași pentru fiecare frecvență Cy în acest interval.
Fie N numărul total de fotoni pe secundă transportat de fascicul. Să selectăm un interval de frecvență mic de la $ \ nu_i $ la $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Putem pretinde că toți fotonii din acea gamă mică au aceeași frecvență, $ \ nu_i $ . Deci, numărul de fotoni pe secundă din acea gamă este $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Dar $ dP / d \ nu $ este o constantă: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Pentru a găsi numărul total de fotoni pe secundă din întreaga gamă, trebuie să adăugăm toate contribuțiile din toate intervalele mici:
$$ N (total fotoni / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
peste tot $ \ nu_i $ în interval. Aceasta este doar integrala
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
unde $ N $ este numărul de fotoni pe secundă în intervalul de la $ \ nu_1 $ la $ \ nu_2 $ .
(Sperăm că nu am făcut erori în matematică. Sunt „foarte neîndemânatic cu MathJax.)
Comentarii
- Este în regulă, dar ceea ce am vrut să știu este derivarea formulei. Adică , cum ajungeți de la $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ în formula pe care am dat-o este un număr de fotoni pe secundă . $ N $ în $ E = Nh \ nu $ este un număr de fotoni, nu un număr de fotoni pe secundă.
- Bine, apoi spuneți $ P = Nh \ nu $ unde $ N $ este numărul oh fotoni pe secundă. Cum obțineți formula pentru $ N $ când $ \ nu $ este un interval?
- Ah, deci: trebuie să înțelegeți mai bine ce înseamnă integrala. Voi edita răspunsul meu pentru a include asta.
- Editarea a făcut-o mult mai clară! Dar există un ultim lucru care mă deranjează …Când scrieți numărul de fotoni pe secundă în gama mică de frecvențe, cum obțineți acest lucru? Nu pot ' să parcă îmi înfășoară capul în jurul acestei idei. Este singura îndoială pe care am avut-o cu adevărat. De la început știu că ar trebui să integrez o funcție de peste $ \ nu $, dar nu am putut ajunge acolo. Acest pas crucial mă întreabă într-adevăr, sună foarte înainte, dar simt că îmi lipsește un pas '.