Placarea unui hexagon cu diamante

Cred că am găsit o dovadă foarte ușoară.

Fiecare placă cu laturi verticale trebuie să aibă alte două plăci cu laturi verticale adiacente , sau limita verticală a hexagonului. Pentru o țiglă dată cu laturi verticale, urmărirea acestor țigle adiacente produce o cale specifică către ambele laturi verticale ale hexagonului.

Acest lucru înseamnă că fiecare țiglă cu laturi verticale se află pe o cale care începe din partea stângă a hexagonul și se termină la dreapta și constă numai din plăci cu laturi verticale. Niciuna dintre aceste căi nu se poate intersecta, deoarece aceasta ar crea două căi diferite de la o singură țiglă cu laturi verticale la partea stângă a hexagonului, care nu pot exista conform primului paragraf.

Deoarece niciuna dintre căi intersectează, fiecare cale dintre laturile stânga și dreapta ale hexagonului trebuie să înceapă și să se termine la aceeași înălțime. Prin urmare, fiecare cale trebuie să conțină un număr egal din fiecare dintre cele două plăci orientate diferit, cu laturi verticale. Deoarece fiecare țiglă cu laturi verticale se află pe o astfel de cale, numărul total al acestor două plăci orientate diferit trebuie să fie egal.

Repetați acest lucru simetric pentru alte două orientări pentru a afla că numărul de plăci din fiecare orientare trebuie să fie fii egal.

Comentarii

• Foarte frumoasă dovadă. Cred că s-ar putea face și mai ușor prin simpla observație că a + b = b + c = c + a este echivalent cu a = b = c. Apoi, puteți renunța la întreaga treaptă și în sus și în jos. În schimb, numără doar cursele verticale. Prin argumentul dvs., acestea trebuie să fie același număr în fiecare ” coloană ” și la limită. Puteți mapa 1-la-1 toate cursele verticale, cu excepția limitei stângi, să zicem, la toate țiglele care au laturi verticale (adică două tipuri, ca în a + b de mai sus) prin asocierea fiecărei astfel de plăci marginea sa verticală dreaptă.
• Ah, ai ‘ dreptate. După ce știți că există un număr egal de linii în fiecare orientare, rezultatul urmează cu ușurință.

Vreau să postez un răspuns mai intuitiv decât matematic .
Această imagine îl reprezintă perfect:

Alb, gri și negru sunt utilizate pentru a evidenția diamantele cu aceeași orientare. Imaginea potrivită arată un solid ciudat, cred că toată lumea o poate vedea.
Ei bine, este intuitiv să vedem că, pentru orice configurație, zona neagră este echivalentă (alb și gri, de asemenea): este ca extrudarea unor părți ale podelei dvs. (alias construirea scărilor!), zona pe care puteți merge nu se schimbă!

Comentarii

• Forma dvs. se menține flipflopping în capul meu. Un moment negru este ” sus „, următorul este ” jos „. Dar îmi place această dovadă.
• @Floris Intenția mea este într-adevăr să rezolv această problemă ca un puzzle (noi ‘ sunteți în Puzzling, eheh!), și nu ca o sarcină matematică pură.
• Sunteți ‘ presupunând că fiecare soluție ” arată ca ” un teanc de cuburi. Cum știi că este adevărat? Într-adevăr, presupunând că fiecare soluție arată ca un teanc de cuburi este destul de mult presupunând că lucru pe care ‘ vi se cere să-l demonstrați.
• @Floris: Ow, mi-a luat ceva timp să-l văd răsturnat și, odată ce am făcut, trebuie să mă lupt pentru a ” ține ” acea interpretare și mă doare capul. Presupun că am jucat prea mult Q * bert în tinerețe.
• @ leoll2 Este ‘ sarcina dvs. să ne convingeți că nu poate ‘ să fie altceva. Cum pot să fiu sigur că nu există ‘ unele plăcuțe ciudate care să nu ‘ să arate ca un teanc de cuburi?

Aici este o dovadă inspirată din 3D.

Luați orice hexagon cu faianță și uitați-vă la liniile verticale.

Mai întâi, observați că, datorită formei plăcilor, toate liniile verticale trebuie să aibă aceeași lungime ca și partea stângă și dreapta a hexagonului, posibil cu goluri între ele.

Deci, dacă niciunul nu are goluri și toate se termină în partea de jos, întreaga placă trebuie să arate astfel („cub complet umplut”):

Arătăm că este posibil să transformăm orice altă faianță într-un” cub complet umplut „fără a schimba numărul de dale din fiecare orientare.

Mai întâi, selectați un fragment dintr-o linie verticală care nu se termină în partea de jos. În schimb, trebuie să se încheie cu o placă orizontală, deoarece celelalte două plăci au ambele părți verticale. Sperăm că situația arată așa („colț”):

Dar poate există încă una sau două linii suplimentare în același loc, așa:

Dacă acesta este cazul, urmați unul dintre ele. Trebuie să aparțină unei alte țigle orizontale adiacente celei curente. (Puteți vedea acest lucru din imagine.) Deci, după ce ați urmat linia, vă aflați din nou în aceeași situație, dar mai aproape de una dintre laturile hexagonului (ceea ce garantează terminarea, deoarece există cu siguranță o linie verticală în direcția către care tocmai a venit din). Continuați în aceeași direcție până ajungeți la un „colț”.

Acum că ați ajuns la un „colț”, „umpleți-l”:

Evident, numărul de dale din fiecare orientare a rămas același. Cu toate acestea, un fragment de linie verticală tocmai s-a deplasat în jos.

Repetați acest algoritm până când toate liniile verticale se termină în partea de jos și toate golurile sunt eliminate, rezultând „cubul complet umplut” (a se vedea mai sus).

Comentarii

• Super! De asemenea, dovedește că orice plăci pot fi transformate în oricare altul printr-o secvență de ” umpluturi de colț ” sau mici rotații hexagonale
• Da, și într-un fel demonstrează că interpretarea 3D funcționează întotdeauna. Dar cred că acest lucru ar putea fi dovedit mult mai direct, deoarece în ” luați orice plăci și construiți o structură 3D corespunzătoare după cum urmează … ”
• bine 🙂 practic rotație 3d. Eu am făcut-o pe a 2-a. Ați întâlnit vreodată acel puzzle?

Destul de interesant, văzând imaginea ca un grafic 3d, puteți vezi că fiecare „față” are același număr de dale. Deci, dacă l-ați privi din stânga, ați vedea 25 de pătrate. Sus, 25 de pătrate. Dreapta, 25 de pătrate. Și fiecare dintre cele 3 orientări corespunde uneia dintre fețe.

Comentarii

• Cred că acest argument este convingător, dar numai pentru faianța pe care o priviți. Cum puteți fi sigur că iluzia optică se va întâmpla pentru fiecare faianță posibilă?
• Acest răspuns pare a fi un mod de a vizualiza răspunsul … nu dovedește nimic. Este totuși posibil să îl demonstrezi în acest fel.
• Sunt total de acord. I ” știu ” răspunsul, dar explicarea este peste mine vinerea asta.

Încă un altul; acesta este bazat pe triunghi și ar putea fi mai mult o dovadă standard.

Împarte întregul hexagon în triunghiuri și atribuie numere liniile verticale ca aceasta (sau similar):

Acum, pentru orice formă bazată pe triunghi (whi ch nu trebuie neapărat să fie o placă) definește „gradul” său ca fiind numărul obținut prin adăugarea tuturor numerelor atribuite la limita stângă și scăderea tuturor numerelor atribuite la limita dreaptă. De exemplu, forma

are un „grad” de $ (1-2) – (2 + 2-1-2) = – 2 $.

Acum, construiți o faianță bucată cu bucată și luați în considerare „gradul” formei rezultate. Adăugarea unei țigle orizontale nu modifică gradul, adăugarea uneia dintre celelalte crește sau scade cu 1, respectiv:

Deoarece întregul hexagon are un grad de 0, numărul celor două plăci afișate trebuie să fie egal. Repetați simetric într-o altă direcție.

Comentarii

• Puteți împărți hexagonul în orice număr de forme, apoi suma de grade a acestor forme este 0.Din punct de vedere tehnic, acest lucru nu răspunde, deoarece tot trebuie să demonstrați că puteți construi faianța (de exemplu prin extrudare, tocmai ați demonstrat că, dacă există o faianță, atunci trebuie să aibă gradul 0) Dar acest răspuns oferă cu siguranță o piesă lipsă la dovadă, astfel încât +1
• În modul în care înțeleg întrebarea, nu este nevoie să dovedesc că există întotdeauna o placă. Dar da, desigur. 🙂 (Vezi primul meu răspuns.)
• și pentru a vedea că poți construi toate plăcile posibile ai nevoie de răspunsul meu 🙂
• Oh, acum înțeleg ce spui. Prin ” build „, vreau să spun ceva diferit: începeți cu o singură țiglă; aceasta este prima ta formă. Apoi adăugați o țiglă după alta, până când ajungeți la plăcuța pe care ați avut-o inițial.
• Nu, pentru mine începe de la o stare validă (trebuie doar să dați una, ‘) apoi aplicați un fel de transformare care vă lasă într-o altă stare validă. Construiți așa cum spuneți că este mai greu, deoarece aveți nevoie de un fel de ” preempțiune ” care este posibilă, dar necesită căutare, în timp ce în postarea mea Nu ‘ nu folosesc nicio căutare, doar ” tranziții ” raționament foarte ușor ..

Să considerăm grila triunghiulară după coloană.

Fiecare coloană din jumătatea stângă are una mai mult triunghi orientat spre stânga decât triunghiuri dreapta. În jumătatea dreaptă există un exces de un triunghi drept.

Pastilele diagonale contribuie la exact un triunghi orientat spre stânga și un triunghi drept. coloana. Să le ignorăm. Rămâneți cu stânga cu triunghiurile care fac parte dintr-o pastilă orizontală. O pastilă orizontală este formată dintr-un triunghi orientat spre stânga într-o singură coloană (roșu) și un triunghi care se potrivește cu dreapta în coloana din dreapta (verde).

Triunghiurile pe care le ignorăm sunt formate din perechi de triunghiuri orientate spre stânga și dreapta într-o singură coloană. Deci, în fiecare coloană trebuie să existe încă un exces pe un triunghi roșu în jumătatea stângă și un exces de un triunghi verde în jumătatea dreaptă.

În prima coloană trebuie să existe un triunghi roșu, deoarece există un exces de unul și nu poate exista un triunghi verde. Acest triunghi este asortat de un triunghi verde în a doua coloană. În coloana 2 există un 1 triunghi verde, deci trebuie să existe încă un triunghi roșu. Adică 2. Aceste 2 triunghiuri roșii au triunghiuri verzi potrivite în a treia coloană etc.

După cum vedeți, mai există un triunghi roșu în fiecare coloană ulterioară, până la linia de mijloc. Ultima coloană dinaintea liniei de mijloc are 5 triunghiuri roșii. Există 5 triunghiuri verzi potrivite dreapta liniei de mijloc. Dar totuși avem acum un exces de 1 triunghi verde, numărul triunghiurilor roșii scade la 4. De acolo, numărul scade cu fiecare coloană. Rezultatul este că, indiferent de modul în care sunt plasate pastilele, triunghiurile roșii contează în coloane formează secvența 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0, care se ridică la 25.

Asta înseamnă că vor exista întotdeauna 25 de triunghiuri roșii. Și acestea sunt jumătăți ale pastilelor orizontale, deci vor exista întotdeauna 25 de pastile orizontale.

Prin simetrie de rotație, același lucru se aplică pastilelor diagonale stânga și diagonalei drepte. Asta înseamnă că, indiferent de modul în care sunt plasate, vor exista întotdeauna 25 din fiecare dintre cele 3 tipuri de pastile.

QED

Iată încercarea mea de a dovedi asta .. Părea imposibil până când în cele din urmă nu am exploatat un truc.

Încep de la o configurație validă, unde există o singură modificare posibilă (rotire cele 3 semiliniile din mijloc: orice altă modificare ar schimba în același timp numărul de diamante și ar crea triunghiuri.)

După ce faceți această modificare, sunteți liber să o anulați (inutilă, o voi marca în albastru) sau să faceți alte 3 modificări (cu roșu). Remarcați imediat că puteți face această „modificare” numai pe punctele care au linii așezate ca mijlocul primei mișcări sau mijlocul cubului inițial.

Odată ce ați făcut a doua mișcare, nu veți putea anula prima mișcare (gri acum) deoarece acest lucru ar crea triunghiuri și alte forme.

(Presupunând că prima mea mișcare a fost o rotație în sensul acelor de ceasornic de 1/6 rundă, anularea mea este 1/6 în sens invers acelor de ceasornic)

Practic, puteți doar verificați dacă singurele mișcări posibile sunt rotațiile grupului de plăci realizate de 3 diamante (1 pentru fiecare orientare) (puteți verifica toate mișcările posibile pe un „cub” de 2x2x2 și puteți vedea că este adevărat).

observați, de asemenea, că rotația menține același număr de diamante pentru fiecare orientare.

Există „o mică piesă care lipsește din dovadă: nu am arătat că începând de la primul meu cub pot face toate placările posibile, că„ rotațiile au „interdependențe” și eu nu știu dacă la un moment dat „mă voi bloca” fără mai multe mișcări posibile.

Sunt prea somnoros pentru această dovadă, dar am dezvoltat o altă metodă de probă, vă voi lăsa plăcerea să o folosiți:

Extrudarea coloanelor pornind de la un cub „gol”:

Vedeți că nu puteți extruda o coloană la o lungime mai mare decât coloanele precedente (există 2 direcții de verificat pentru coloanele precedente) deoarece veți obține triunghiuri.

Aveți acum o modalitate de a calcula cu adevărat toate plăcile posibile. începeți cu coloana din spate și, odată ce ați decis o înălțime, puteți extruda vecinul 2 la orice înălțime mai mică sau egală cu coloana din spate. După aceea, puteți face același lucru pentru următoarele 3 coloane.

Există aici nu există dependență de rotații. Alegeți un și apoi puteți alege din nou același număr sau un număr mai mic. Acest lucru este mult mai ușor, dar are ceva ajutor din partea imaginației (a 3-a dimensiune într-o problemă care are 2 dimensiuni).

Ei bine, probabil că asta nu este o dovadă formală. Dar ajută imaginația, aveți 2 moduri de a ataca problema și probabil că acestea pot fi soluționate pentru o dovadă formală. Dar cred că este mai interesantă intuiția decât dovada. Fără o anumită intuiție, nu vor exista niciodată dovezi.

Cheia pare să fie întotdeauna aceeași. Pornind de la o configurație banală, singurele mișcări posibile păstrează incidental numărul de diamante pentru fiecare configurație.

P.S:

Nu am mai văzut niciodată acest puzzle. Sper că îți place primul meu răspuns în schimbul de puzzle.

Din plăci triunghiulare cu o „limită de cub”, putem vedea că:

• există un număr egal de segmente de linie la $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• fiecare romb acoperă exact un tip de segment de linie

Comentarii

• Nu este ‘ care doar să repete ceea ce leoll2 a spus, că atunci când ” extrudând părți ale podelei dvs. ” că ” zona pe care puteți merge nu ‘ t change „.
• Că ‘ este de fapt o dovadă mult mai bună decât răspunsurile mele. ‘ este interesant faptul că doar ignorați toate liniile care sunt vizibile și vă concentrați pe cele invizibile.

Dacă atribuim $ S $ lungimea laterală a hexagonului (în număr de lungimi ale laturii diamantului) și $ A $, $ B $, $ C $ la fie numărul de diamante de fiecare tip în care $ A $ este mai lung decât înălțimea, $ B $ indică în dreapta jos / sus stânga și $ C $ indică în partea stângă jos / dreapta sus.

numărul total de diamante (aka zonă) ne permite să facem această ecuație:

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

Imaginați-vă $ S = 1 $ hexagon … Există doar 2 soluții care sunt aceleași rotite cu 30 de grade. Trebuie să fie toate cele trei diamante prezente în ordinea porțiunii centrale pentru a adăuga până la 360 de grade.

Ne putem imagina că există 3 căi care merg de sus în jos, în dreapta sus în stânga jos, și colțurile din stânga sus în colțul din dreapta jos. Mișcarea totală în jos pentru orice cale pe care o urmați (de sus în jos) trebuie să fie egală cu $ 2S $, dar mișcarea de la stânga la dreapta trebuie să fie zero. Dacă vă deplasați în jos pe un diamant de $ A $, nu vă deplasați la dreapta sau la stânga. Dacă vă deplasați în jos pe un diamant de $ B $ sau $ C $, vă deplasați la dreapta sau, respectiv, la stânga. Pentru ca toate căile să nu se deplaseze la stânga sau la dreapta, numărul total de $ B $ și $ C $ trebuie să fie egal. Dacă rotiți graficul cu 60 de grade astfel încât o pereche diferită de colțuri să arate în sus / în jos, puteți afișa acest lucru pentru $ A $ și $ B $ sau $ A $ și $ C $.

Comentarii

• Puteți detalia mai puțin de unde provin aceste 3 căi? Există mai multe căi posibile (de sus în jos) sau unice având în vedere plăcile? Sunt ca un pion care sare de la diamant la diamant adiacent sau o furnică care urmează marginile?
• Este adăugare vectorială …. se referă la toate căile care merg de la colț la cel opus fără spate urmărire. Este urmărit de margini.
• Pentru a clarifica, nu există o cale care să nu urmeze B = C, așa că adăugați-le pe toate și B = C

Nu sunt sigur că acesta este un răspuns complet, dar „obosesc.

Fie n = numărul de triunghiuri pe o parte. Luați diamantele care ating EDIT: n + 1 unități de margine adiacente (doar la 1 punct nu contează): Cel puțin un diamant trebuie să fie diferit de la ceilalți. Lăsați toate modificările să se întâmple în colțuri, cu o schimbare la fiecare colț.Am „realizat o buclă care poate conține un hexagon cu lungimea laterală n-1, iar numărul de diamante de fiecare fel este egal. Inducția până la n = 1, unde este evident egală.

Acum, lăsați o buclă exterioară hexagonală să se abată de la politica noastră „schimbările se produc doar la colțuri”. Colorează toate diamantele marginii exterioare adiacente de o anumită culoare (să zicem, negru) și lasă toate diamantele care ies din această buclă alb. Acum putem vedea o buclă ruptă care înconjoară o altă buclă (cu siguranță ruptă) de n-1. Culoare în această buclă interioară cu o a doua culoare, lăsând din nou pe alți rebeli. Faceți acest lucru până la hexagonul n = 1, apoi colorați rebelii după orientare.

Acum, dacă vă uitați la diagrama mea, hexagonul purpuriu interior vrea cu adevărat o țiglă roșie în partea de jos în loc de o portocală și un roz . Imaginați-vă că acesta este un mozaic. Rupeți o țiglă roșie și rebelii portocalii și roz în mijloc și puneți țiglă roșie acolo. Hexul purpuriu este fericit acum. Acum, faceți fericit hexagonul verde (o schimbare doar la fiecare colț) – Diamantul lateral inferior vrea să fie două diamante înclinate pentru a se potrivi în jurul hexagonului purpuriu – adăugați în dale portocalii și roz lateral, punând dale verzi oriunde am jefuit țigla roșie de mai devreme. Cred că este clar că acest proces poate fi continuat până când ajungem la „hexagonul nostru optim”. Totuși, creierul meu este prea prăjit pentru a dovedi definitiv acest lucru.

EDIT: Cred că aceste două lucruri sunt adevărate: 1. Dacă luăm un hexagon non-optim, fiecare buclă concentrică va fi nefericită 2. Fixarea unei bucle nefericite adaugă în mod necesar plăci la „mâna” noastră de plăci mozaic îndepărtate.

Având în vedere aceste două lucruri, este imposibil să vrem să reparăm un hex, dar să nu avem dale în „mâna” noastră de dale eliminate, presupunând că există cel puțin un rebel din felul necesar buclei n = 1.

Nu este nevoie de dovezi lungi. Gândiți-vă la 3D.

Imaginați-vă că unele cuburi sunt fixate într-un colț al unei camere. Cele trei orientări sunt fețele pe care le vedem, deoarece din fiecare parte trebuie să vedem același număr de fețe.

Comentarii

• există și o dovadă de la numerotare. Puneți doi 0 într-un colț și construiți numărul astfel încât cele 3 orientări să adauge întotdeauna -1,0 și 1. Adăugând rând cu rând suma totală va fi 0 Prin urmare X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0 ceea ce înseamnă X = Z. Acum rotiți numerotarea 120degress Cu un argument similar X = Y Aceasta completează dovada
• Din păcate, acesta este în esență același cu răspunsul dat deja de leoll2 și care a fost dovedit în răspunsul lui Sebastian Reichelt. Dovada pe care o menționați în comentariul dvs. a fost publicată deja în al doilea răspuns al lui Sebastian Reichelt.

În ordine pentru a demonstra acest principiu, prin programarea Pascal pentru a genera diferite planuri de diamante, prin diferite culori, veți descoperi că această problemă de pavaj 2D a devenit o problemă de generare a modelelor 3D, iar aceste modele sunt foarte asemănătoare cu planificarea urbană sau arhitectura. Un calcul de încercare a aspectului turnului și podiumului. O altă caracteristică este că modelul tridimensional generat nu are o parte superioară mare și o parte inferioară mică și este un aspect paralelipiped dreptunghiular stabil. O ” actualizare ” de la o problemă bidimensională la o dispunere tridimensională. ional

Comentarii

• Cum demonstrează acest lucru afirmația din întrebare?