Din mai multe surse online am citit că $$ E \ propto A ^ 2 $$ dar când am menționat acest lucru în clasă, profesorul meu mi-a spus că am greșit și că, în schimb, era direct proporțională cu amplitudinea.
Din câte știu, fiecare site web pe care am dat peste asta a spus că așa este. Profesorul meu are un doctorat și pare destul de experimentat, așa că nu văd de ce ar face o greșeală, există cazuri în care $ E \ propto A $?
Am văzut și această derivare:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
aici , îi pasă cineva să-l explice puțin mai detaliat? Am o înțelegere de bază a ceea ce este o integrală, dar nu sunt sigur care este posterul din spunea link. Știu că există o explicație destul de bună aici , dar pare mult prea avansată pentru mine (am renunțat odată ce am văzut derivate parțiale, dar văd că sunt „re practic la fel mai târziu). Primul pe care l-am conectat pare a fi ceva pe care aș putea să-l înțeleg.
Comentarii
- Puneți întrebările corecte și gândiți uitați-vă de doctorat și, în schimb, rugați-l pe profesorul dvs. să explice în detaliu de ce crede că $ E \ propto A $. Galileo a avut ceva potrivit să spună aici: " … autoritatea a o mie nu merită raționamentul umil al unui singur individ ". Energiile în sistemele liniare sunt funcții pătratice ale coordonatelor generalizate, ca în Răspunsul lui Kyle ' .
Răspunsul
Afișul de pe link-ul respectiv spune că lucrarea făcută de primăvară (legea „lui Hooke” acolo: $ F = -kx $) este egal cu energia potențială (PE) la deplasarea maximă, $ A $; acest PE provine din energia cinetică (KE) și este egal cu integralul legii lui Hooke în intervalul 0 (deplasare minimă) până la $ A $ (deplasare maximă).
Oricum, profesorul dvs. greșește. Energia totală dintr-o undă provine din suma modificărilor energiei potențiale, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ și în energie cinetică, $$ \ Delta K = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) v ^ 2 \ tag {KE} $$ unde $ \ Delta m $ este modificarea masei. Dacă presupunem că densitatea undei este uniformă, atunci $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $ unde $ \ mu $ este densitatea liniară. Astfel energia totală este $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ Ca $ y = A \ sin \ left (kx- \ omega t \ right) $ și $ v = A \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, atunci energia este proporțională cu pătratul amplitudinii: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
Comentarii
- Probabil că acest lucru este ușor disponibil undeva pe Wikipedia sau altceva, dar pot să vă întreb unde mergeți PE ecuația pe care ați enumerat-o?
- @ D.W .: Ne pare rău pentru răspunsul foarte târziu, îl puteți vedea pe acest site-ul Hyperphysics . Puteți utiliza faptul că $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ și modificarea în $ U $ ar fi asociate cu o schimbare de masă în val, $ \ Delta m \ sim \ mu \ Delta x $ (cu $ \ mu $ densitatea liniară).