Un rezultat bine cunoscut din statistici mecanica este legea ideală a gazelor,

\ begin {equation} PV = nRT \ end {ecuație}

care vine într-o varietate de forme. Aici, $ n $ indică cantitatea de gaz, $ R $ este o constantă, $ T $ este temperatura, $ V $ volumul și $ P $ presiunea.

Dacă creșteți temperatura, fie volumul, presiunea sau ambele trebuie să crească proporțional. Dacă balonul nu se poate extinde, volumul nu poate crește; astfel, presiunea va crește (cu $ \ frac {nR} {V} $ pe grad). Dacă există un anumit grad de elasticitate, volumul poate crește oarecum; totuși, nerespectând legea gazelor ideale. În calitate de astronom, nu am lucrat prea mult cu elasticitățile, așa că probabil un fizician aplicat vă poate ajuta în continuare.

Un gazul ideal este un gaz teoretic compus din multe particule puncte în mișcare aleatorie care nu interacționează decât atunci când se ciocnesc elastic. Totul depinde de cazul tău. Adică, dacă presiunea și temperatura sunt scăzute, puteți utiliza legea gazelor ideale pentru a calcula relația dintre presiune și temperatură.

unde:

este presiunea gazului

este volumul gazului

este cantitatea de substanță de gaz (cunoscută și ca număr de moli)

este gazul ideal sau universal constantă, egală cu produsul constantei Boltzmann și a constantei Avogadro.

este temperatura gazului

Și noi știți:

unde:

este masa (grame)

este masa molară (grame pe mol)

astfel,

Ar trebui să verificați cazul cu care vă confruntați și apoi să decideți să utilizați acest lucru sau să nu-l utilizați. dar ceva cu adevărat important este că legea ideală a gazelor nu răspunde pentru cazurile elastice.

Asigură-te că folosești T în Kelvins și aveți celelalte unități compatibile între ele.

De asemenea, ar trebui să căutați „altitudine de presiune” și „altitudine de temperatură” și „Rată de expirare” pentru a vedea dacă acestea se aplică problemei dvs.

Pe măsură ce creșteți altitudinea, presiunea atmosferică limitată și temperatura scad, astfel încât balonul crește în dimensiune comparativ cu altitudinile mai mici.

Derivare rapidă

Legea Young-Laplace afirmă că $$ p-p_0 = \ frac {2 \ gamma} {R} $$ în timp ce ecuația de stare a gazului ideal merge ca $$ p = \ frac {Nk_BT} {V} $$ Rezolvarea pentru $ R $ și presupunând că avem de-a face cu un balon sferic ($ V = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $, $ A = 4 \ pi R ^ 2 $), și că elasticitatea este descrisă de o forță Hookean (cu echilibru la dimensiunea zero), $ \ gamma = \ alpha A $, $$ \ left (\ frac {Nk_BT} {\ frac {4} {3 } \ pi p} \ right) ^ {1/3} = R = \ frac {p-p_0} {8 \ pi \ alpha} $$

Pentru a simplifica algebra, presupun că $ p_0 = 0 $, astfel încât să avem $ p \ propto T ^ {1/4} $.

Derivare puțin mai riguroasă

Pentru simplitate, voi presupune că presiunea din exterior este zero. Adăugarea unei presiuni diferite de zero este totuși banală, dar face ecuațiile puțin mai urâte.

Să presupunem că avem o sferă umplută cu $ N $ molecule de gaz ideal, astfel încât funcția de partiție poate fi scrisă ca $$ \ mathcal {Z} = \ iint \ mathrm {d} ^ {3N} p \ \ mathrm {d} ^ {3N} r \ \ e ^ {- \ beta (\ mathcal {H} + \ gamma A)} $$

Deci, rămânem cu $$ \ mathcal {Z} = CV ^ N e ^ {- \ beta \ gamma A} $$

Acum, minimizarea energiei libere în raport cu $ R $, $$ N \ frac {A} {V } = \ beta \ partial_R (\ gamma A) $$

Luând cauciucul ca Hookean, $ \ gamma = \ alpha A $, avem în sfârșit dimensiunea balonului: $$ R = \ stânga (\ frac {3N} {64 \ pi ^ 2 \ alpha \ beta} \ dreapta) ^ {1/4} $$

Acum este ușor să calculați presiunea, $$ p = – \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {F}} {\ partial V} \ right) _A = \ frac {N \ frac {A} {V}} {\ beta A} = \ frac {N} {\ beta V} $$ Nici o surpriză aici; aceasta este doar ecuația de stare a gazului ideal. Conectând dimensiunea ($ V \ leftarrow \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $), avem $ p \ propto \ beta ^ {- 1/4} \ propto T ^ {1/4} $ .

De asemenea, am scris o simulare simplă Monte Carlo (care ar putea fi ușor extinsă pentru a acoperi cazuri mai generale în care gazul este ne-ideal, să zicem), iar rezultatele mele numerice sunt de acord cu ceea ce am derivat mai sus.

Temperatura și presiunea sunt direct proporționale între ele. Aceasta înseamnă că, odată cu scăderea temperaturii, scade și presiunea și, odată cu creșterea temperaturii, crește presiunea. O modalitate de a vă gândi la acest lucru este dacă creșteți viteza moleculelor – prin creșterea temperaturii lor – forța moleculelor care lovesc recipientul lor crește și aceasta crește presiunea. Această relație se numește Legea lui Gay-Lussac și face parte din legea ideală a gazelor.