Operatorul de rotire QM poate fi exprimat în termeni de matrice gamma și încerc să fac un exercițiu în care dovedesc un identitate care folosește $ \ gamma ^ 5 $ și $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
În prima mea încercare am făcut acest lucru direct în reprezentarea Dirac, dar exercițiul spune că nu pot face acest lucru, poate cineva să vă sfătuiască? Există vreo identitate sau truc care să mă permită să fac acest lucru?
Pentru a clarifica, $ \ alpha $ este următoarea matrice în care elementele diferite de zero sunt matricile Pauli:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
unde
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Comentarii
- Ce este explicit $ \ alpha $ și $ {\ bf S} $?
- Alfa este matricea ale cărei intrări care nu se află pe diagonala principală sunt matrice Pauli, dar nu știți cum vă ajută.
- Cum vă așteptați să vă ajutăm să dovediți o identitate fără o definiție clară a tuturor simbolurilor implicate?
- @Hollis Cu siguranță puteți spune cel puțin ce ar trebui să însemne $ \ alpha $. ' nu este o notație standard, așa cum sunt matricile gamma.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ este la fel de standard ca și matricile $ \ gamma $. Majoritatea cărților de fizică standard introduc $ \ mathbf {\ alpha} $ chiar înainte de matricele $ \ gamma $.
Răspuns
Urmez convențiile Wikipedia cu următoarele definiții $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ unde $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ După ce am spus acest lucru, notăm acum $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Explicit, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Apoi, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alfa ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Astfel, $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$