Unități în constanta gravitațională

Ei bine, pentru a găsi unitățile constantei trebuie să luați în considerare ecuația la care participă:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ este o forță: deci este măsurată în newtoni ($ \ operatorname {N} $). Un newton este forța necesară pentru a da unui kilogram o accelerație de un metru pe secundă pe secundă: deci, în unități SI, unitățile sale sunt $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ și $ m_2 $ sunt mase: în unități SI se măsoară în kilograme, $ \ operatorname {kg} $ și $ r $ este o lungime: se măsoară în metri, $ \ operatorname {m} $.

Deci, din nou în unitățile SI putem rescrie cele de mai sus ca ceva de genul

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

unde $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ și $ \ rho $ sunt numere pure (sunt valorile numerice ale diferitelor cantități în unități SI). Deci, trebuie să obținem dimensiunile acestei pentru a avea sens și doar făcând acest lucru, este imediat evident că

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

unde $ \ gamma $ este un număr pur și este valoarea numerică a $ G $ în unități SI.

Alternativ dacă punem newtoni înapoi pe LHS obținem

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

Pentru a răspunde la acest lucru, trebuie să aruncăm o privire asupra ecuației $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Deci, dacă G se măsoară în $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, iar masa se măsoară în kg și distanța se măsoară în m, atunci forța se măsoară cu $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, care simplifică la $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

Și acum pentru a defini $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ instinctele tale ar putea fie să îl împărțiți în $ \ rm m / s ^ 2 $ și kg. Dacă $ \ rm m / s ^ 2 $ este o unitate de accelerație și kg este o unitate de masă, atunci forța trebuie să fie masă de accelerare. Acest lucru este descris de Sir Issac Newton PRS „a doua lege a mișcării descrie:

$ F = ma $

Deci, este logic că constanta gravitațională G este măsurată în $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Comentarii

• Nu sunt sigur că ” PRS ” este necesar pentru a descrie Newton

Este un problemă.

Constantele fac aluzie la numere pure atât de amuzant încât o constantă ar trebui să aibă unități de măsură.

Este o problemă potrivită. Găsiți sau ghiciți că ceva depinde de altceva, proporțional ca atunci când x merge de la 3 la 4, y merge de la 6 la 8, (deci y = 2 * x unde 2 este o constantă) sau invers proporțional (y = x / 2), deci, atunci când sunteți mulțumit că ați găsit tot ceea ce poate afecta acel ceva, aveți destul de mult ecuația dvs., cum ar fi y = a x ^ 2 + bx + c pătraticul simplu într-o dimensiune sau ceva de genul w = x y.

Ultimul pas este să adăugați constante astfel încât numerele, rezultatele să se potrivească.

Cu toate acestea, dacă unitățile de măsură nu sunt potrivite, veți avea o problemă. Vă veți sacrifica pentru asta dacă constanta dvs. se menține, chiar dacă are unități, dar poate fi conștient că ecuația este mai mult decât această simplificare sau, bineînțeles, că ideea dvs. originală de unități de măsură are un defect. redefiniți-vă primele principii, adică viteza nu este metru / secundă, așa că permiteți să lăsați asta pentru moment.

Ecuația gravitațională în această formă este, de asemenea, foarte asemănătoare cu legea Coulombs, prea asemănătoare de fapt, ambele sunt în principal ghiduri să spunem că forța este proporțională cu masele obiectelor și invers proporțională cu pătratul distanței lor (în cazul gravitației)

Obțineți pătrate îngrijite cu forța gravitațională, adică (kg / m) 2 deci, dacă totul este pătrat, atunci vă puteți întreba ce este kg / m.

De exemplu: pătratele apar atunci când sunteți addi ng chestii prin integrare, integrează un alt concept matematic fin, care totuși, cel puțin grafic, este o aproximare.

Deci spunem dacă y = x ^ 2 atunci dy / dx = 2x și integrarea fiind inversul diferențierii , folosind notația „Integral of x” ca I (x), apoi I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (adăugăm întotdeauna o constantă în integrare pentru partea lipsă.

Deci, probabil, forța (gravitațională) este f = I (ceva), astfel încât să ajungă la pătrat.

Forța este un animal amuzant. Aveți lucruri precum impulsuri, precum energie, muncă și putere, toate concepte din fizică, conectate. De exemplu iirc work = power * time, dar asta este doar bunul simț vorbind, așa că mă voi opri aici.

Adăugat:

Pentru a începe să vă gândiți la kg / m și la ce anume, un lucru care mi-a venit în minte, acești doi sunt conectați când ceva parcurge o distanță, de ce depinde distanța pe masă? Ei bine, cu siguranță când ai fricțiune, masa contează. Vă puteți gândi și la densitate, care este masa / volumul.

Deci F ~ volum ^ 2 și poate F = volum ceva, care îl readuce la kg m / s ^ 2. ceva care în localizarea percepabilă este stabil, constant. Atenție dacă F = I (x) și are m / s ^ 2 în ea, există o relație integrală între viteză și accelerație (s = v t + a t / 2) unde s este distanța, v este viteza, a este accelerația și t timp. Rețineți că și integrarea este subiectivă, vă integrați peste ceva, deci dacă w = x y și atât x cât și y sunt variabile, puteți integra w peste x și puteți integra w peste y. Acestea sunt / (pot fi) aditive, cu condiția să fie independente, dacă y = f (x) puteți merge la o singură variabilă w = x f (x) => w = g (x)

Deoarece această întrebare a avut 46K (!) vizualizări, poate fi util să adăugați un răspuns chiar și după 4 ani.

$ G $ este o constantă experimentală necesară pentru a se potrivi cu energia potențială Newton de experimentat. Energia potențială Newton este $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Împărțirea la energia $ mc ^ 2 $ obțineți potențialul dimensiune $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Deoarece $ V $ este adimensional $ GM / c ^ 2 $ este o lungime. Această lungime este interpretată ca jumătate din raza unei găuri negre cu masa M, $ r_M / 2 $ . G are dimensiune $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Prin urmare, puteți scrie potențialul adimensional ca $$ V = r_M / 2r $$ unde singura constantă este o lungime cu o interpretare clară, deși exotică.

Cea mai directă interpretare – una care transcende diviziunea de paradigmă între fizica relativistă și non-relativistă și este conectată la ecuația Raychaudhuri este că în ceea ce privește contracția volumului.

Un nor care înconjoară un corp de masă $ M $ , ai cărui constituenți sunt toți în mișcare radială, are un volum care în funcție de timp $ V (t) $ satisface ecuația $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Dacă inițial este staționară, atunci accelerația inițială a volumului, sub forța de greutate este $ – 4πGM $ , negativul indicând faptul că începe să se contracte.

Deci, unitățile pentru $ GM $ sunt metri cubi pe secundă, pe secundă.

Generalizarea acestui lucru la o $ n + 1 $ spațiu-timp dimensional este $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ folosind convenția $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , unde $ G_n $ este $ n $ – versiunea dimensională a coeficientului Newton; ale cărei unități ar fi metruⁿ / (al doilea² kilogram).