Știe cineva care ar fi $ tr (t ^ la ^ bt ^ ct ^ d) $, unde $ t ^ a $ etc sunt matrici Gell-Mann? Acest lucru a apărut la analizarea factorului de culoare pentru efectul de calcul pentru QCD. Deci, trebuie să fie destul de obișnuit, dar nu am putut găsi o referință adecvată. În general, există vreo referință pentru urmărirea numărului arbitrar de matrice Gell Mann?
Răspuns
Eu iau SU (N) generatorii din reprezentarea fundamentală s-au normalizat astfel încât $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Comutatorul a două generatoare definește constantele de structură $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Anticomutatorul a două generatoare este
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
unde prin $ 1 $ vreau să spun matricea de identitate și $ d ^ {abc} $ sunt „simbolul d” definit ca
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Apoi, există o identitate utilă
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Vă sugerez această referință http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf unde sunt colectate diferite identități de urmărire. Pentru cazul dvs., consultați ecuația 75 din Anexa B, pagina 9.
Verificați normalizarea generatoarelor înainte de a utiliza această identitate.
Comentarii
- De regulă, doar răspunsurile sunt descurajate în mod activ, deoarece dacă link-ul devine mort, răspunsul este inutil. Vă rugăm să folosiți Mathjax pentru a edita în ecuațiile corespunzătoare, astfel încât răspunsul să poată fi singur.
- @Angela, dacă acest lucru vă răspunde la întrebare, ar trebui să o marcați ca răspuns.