Valoarea așteptată a distribuției gamma

Presupunând că vă referiți la variabila aleatoare a distribuției Gamma cu forma $ \ alpha > 0 $ și rata $ \ beta > 0 $ parametri, adică $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, puteți găsi $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ în modul următor:

Pentru orice variabilă aleatoare X de distribuție continuă (cum ar fi Gamma) pentru care $ f $ denotă funcția sa de densitate de probabilitate (în exemplul dvs. $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) și pentru orice funcție $ g $ din această variabilă (în cazul dvs. $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), conține: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

În exemplul dvs., simplifică foarte mult (acordați atenție la $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ Fracția nu depinde de $ x $ , deci poate fi pus în afara unei integrale.

Apropo, pentru distribuția discretă este foarte similar: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {unde} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {denotă suport pentru X (set de valori pe care le poate lua)} $$

---

Nu te voi mai ține în suspans. Mai întâi de toate, reamintim că $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Fie $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Combinând aceste două rezultate într-o observație simplă: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Consecutiv: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Folosind acest lucru de două ori, veți obține rezultatul :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ În cele din urmă (ca $ f _ {\ alpha-2} (x) $ este, de asemenea, PDF care integral este egal cu $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Această soluție de mai sus este pentru acest caz particular, dar așa cum a subliniat whuber , cazul mai general pentru orice $ p \ real \ pozitiv \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ conține: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Comentarii

• @TJ Phu Spuneți-ne cu ce aveți în realitate probleme, poate cu calculul acestei integrale? Oricum, anunțați-ne. Cu toate acestea, încercați să urmați comentariile gung și Silverfish și să îmbunătățiți aspectul general al întrebării. integrarea a fost un pic înșelătoare. Spuneți-mi dacă înțelegeți complet soluția mea (pur și simplu acceptând / bifând răspunsul meu sau cel mai gros).

Aș face-o în mod leneș: începând cu o definiție și analizând cu atenție ce urmează, pentru a vezi dacă cineva mi-a arătat deja răspunsul. În cele ce urmează nu sunt necesare deloc calcule și doar regulile cele mai simple (ale exponenților și integralelor) sunt necesare pentru a urma algebra.

---

Să începem cu distribuția Gamma.Alegeți o unitate de măsură $ X $ în care $ \ beta = 1 $ , astfel încât să putem spuneți destul de bine $ X $ are o distribuție $ \ Gamma (\ alpha) $ . Aceasta înseamnă că densitatea este pozitivă numai pentru valorile pozitive, unde elementul densității probabilității este dat de

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Dacă sunteți curios, expresia $ dx / x $ este explicată la https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Dacă nu vă place, înlocuiți $ x ^ \ alpha dx / x $ cu $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Reamintim că constanta de normalizare este acolo pentru a face integralul $ f_ \ alpha (x) dx $ unitate, de unde putem deduce că

$$ \ begin {align} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {align} \ tag {1} $$

Nu contează ce număr $ \ Gamma (\ alpha) $ este de fapt. Este suficient să vedem că este bine definit și finit, cu $ \ alpha \ gt 0 $ și altfel diverg.

Acum, să ne întoarcem la regulile de așteptare. Legea ” a statisticianului inconștient ” spune așteptarea oricărei funcții a $ X $ , cum ar fi $ X ^ p $ pentru o anumită putere $ p $ (care este de obicei pozitiv, dar poate fi negativ și chiar complex), se obține prin integrarea acelei funcții de $ x $ împotriva densității:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

---

Este timpul să ne uităm. Ignorând integralul, integrandul este o expresie suficient de simplă. Să o rescriem folosind regulile algebrei și, în acest proces, mutăm valoarea constantă a $ 1 / \ Gamma (\ alpha) $ din integral:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Asta ar trebui să pară foarte familiar: it ” La fel ca o altă funcție de densitate de distribuție Gamma, dar cu puterea $ p + \ alpha $ în loc de $ \ alpha $ . Ecuația $ (1) $ ne spune imediat , fără alte gândiri sau calcule, că

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Conectarea la partea dreaptă a $ (2) $ produce

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Se pare că ar fi mai bine să avem (partea reală a) $ p + \ alpha \ gt 0 $ pentru ca aceasta să convergă, după cum sa menționat anterior.

---

Ca dublă verificare, putem folosi formula noastră pentru a calcula primele câteva momente și a le compara cu, să zicem, ce Wikipedia spune . Pentru media obținem

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

și pentru al doilea moment (brut),

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

Prin urmare, varianța este $$ E \ left (X ^ 2 \ right) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Aceste rezultate coincid perfect cu autoritatea. Nu există probleme de convergență, deoarece $ \ alpha \ gt 0 $ , ambele $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ și $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

---

Acum puteți conecta în siguranță $ p = -2 $ și trageți concluziile dvs. despre întrebarea inițială. Nu uitați să verificați condițiile în care există răspunsul.Și nu uitați să schimbați unitățile $ X $ înapoi la cele originale: care vă va multiplica răspunsul cu $ \ beta ^ p $ (sau $ \ beta ^ {- p} $ , în funcție de ce credeți că $ \ beta $ este o scară sau o tarif ).