Jag behöver beräkna antalet fotoner i en ljusstråle $ P $ . Jag vet att den har konstant effekt $ P $ över våglängderna $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Så för att beräkna detta har jag använt en formel som ges i en annan SE-fråga:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Allt är bra och med detta kom jag fram till $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Men jag är inte helt övertygad om den formeln eftersom jag inte kan härleda den från $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
Svaret jag får från formeln verkar rätt, men jag behöver bevis för det.
Källa för ekvationen: Antal fotoner
Kommentarer
- Så vad är uttrycket för $ dE / d \ nu $ du använde för att utvärdera din integral?
- Nåväl, kraften fördelas jämnt över intervallet, så jag sa $ E = h \ nu $, alltså $ dE / d \ nu = h $
- Varför inte $ E = 2h \ nu $ ? Det finns många möjligheter Varför väljer du en specifik? Ekvationen $ E = h \ nu $ är relaterad till energi från en enda foton. Vad händer om du inte har enfotonkälla? Även om din källa är enfoton. Dessa saker producerar vanligtvis många tusen enfotonpulser per sekund, så igen, ditt val för $ E $ verkar konstigt.
- Det ' är inte så konstigt . Jag ' m beräknar det totala antalet fotoner som källan släpper ut och de är jämnt fördelade. Med detta menar jag att effekten är densamma för varje frekvens i intervallet. Så $ E = h \ nu $ borde vara den funktion jag vill ha. Om inte snälla korrigera mig
Svar
Kraft är den mängd energi som överförs per sekund, så du vann ” inte kunna beräkna antalet fotoner. I stället beräknar du antalet fotoner per sekund. Jag tar $ P $ för att betyda den totala strålkraften inom frekvensen intervall från $ \ nu_1 $ till $ \ nu_2 $ .
Antalet fotoner per sekund i ett litet spektralintervall $ \ delta \ nu $ kommer att bero på förhållandet mellan strålkraft i det spektralintervallet och energin per foton i spektralintervall.
Strålens effekt är lika med antalet fotoner per sekund dividerat med energin per foton. Fotonerna har ett frekvensområde, $ \ nu_1 $ till $ \ nu_2 $ . Problemet anger att effekten är densamma för varje frekvens cy inom det intervallet.
Låt N vara det totala antalet fotoner per sekund som överförs av strålen. Låt oss välja ett litet frekvensområde från $ \ nu_i $ till $ \ nu_i + \ delta \ nu $ span Vi kan låtsas att alla fotoner i det lilla intervallet har samma frekvens, $ \ nu_i $ . Så antalet fotoner per sekund i det intervallet är $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Men $ dP / d \ nu $ är en konstant: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
För att hitta det totala antalet fotoner per sekund i hela intervallet, vi måste lägga upp alla bidrag från alla små intervall:
$$ N (totala fotoner / sek) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
över hela $ \ nu_i $ i intervallet. Det är bara integralen
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
där $ N $ är antalet fotoner per sekund inom intervallet från $ \ nu_1 $ till $ \ nu_2 $ .
(Förhoppningsvis har jag inte gjort några fel i matematiken. Jag är väldigt klumpig med MathJax.)
Kommentarer
- Det är bra, men det jag ville veta är härledningen för formeln. Jag menar , hur kommer du dit från $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ i formeln jag gav är ett antal fotoner per sekund . $ N $ i $ E = Nh \ nu $ är ett antal fotoner, inte ett antal fotoner per sekund.
- Fina, säg sedan $ P = Nh \ nu $ där $ N $ är antal oh fotoner per sekund. Hur härleder du formeln för $ N $ när $ \ nu $ är ett intervall?
- Ah så: du måste förstå bättre vad integralen betyder. Jag kommer att redigera mitt svar för att inkludera det.
- Redigeringen gjorde det så mycket tydligare! Men det är en sista sak som stör mig …När du skriver antalet fotoner per sekund i det lilla frekvensområdet, hur får du det? Jag kan ' inte tycka slänga huvudet kring denna idé. Det är det enda tvivel jag verkligen haft. Från början vet jag att jag borde integrera någon funktion över $ \ nu $ men jag kunde inte komma dit. Det här avgörande steget är verkligen fel i mig, det låter väldigt rakt framåt, men jag känner att jag ' saknar ett steg.