Jag vet att av Heisenbergs osäkerhetsprincip att det inte är möjligt att känna till de exakta värdena för en partikels position och momentum samtidigt, men kan vi veta de exakta värdena för en partikels momentum och hastighet samtidigt? Jag skulle tro att svaret skulle vara nej, för även om vi var 100% säkra på partikelns position skulle vi vara helt osäkra på partikelns momentum och därmed göra oss också helt osäker på partikelns hastighet. Har någon någon inblick i detta?
Svar
Det är ganska vanligt att diskutera de två ytterligheterna i osäkerhetsprincipen, sinusformad och delta-funktion. Den ena har en perfekt definierad våglängd men ingen position, den andra har en perfekt definierad position men ingen våglängd.
Ingen av dessa former är dock väldigt fysiskt för en partikelns positionsvågfunktion. En sann sinusformad vågfunktion skulle sträcka sig genom hela rymden, vilket är absurt av flera skäl (inklusive närvaron av andra ämnen). En sann delta-funktion skulle lika sannolikt ha någon fart, vilket sannolikt skulle bryta mot energibesparingen. Så, dessa två extrema gränser är matematiskt intressant, men inte fysiskt relevant.
Med tanke på frågan ”Sätter osäkerhetsprincipen något på att fart och hastighet samtidigt är väldefinierade?”, är svaret nej.
Givet frågan ”Förbjuder osäkerhetsprincipen mig att mäta någon enda variabel med oändlig precision?”, är svaret nej.
Med tanke på frågan ”Gör något förbjuder mig att mäta med oändlig precision? ”, svaret är ja .
Så, din fråga nämner” exakta värden ”, vilket är mycket intressant, taggigt ämne. (Är det någonsin möjligt att mäta ett exakt värde? Hur kan vi se skillnaden?) Är du verkligen nyfiken på ”exakta värden”? Är du mer nyfiken på var Heisenbergs osäkerhetsprincip gäller och inte gäller? Eller är du nyfiken på om det finns andra gränser för vår förmåga att mäta, utöver osäkerhetsprincipen?
Kommentarer
- Jag frågade bara för det frågades på ett test och jag var nyfiken på att få veta svaret efter att jag tog testet. Jag vet att osäkerhetsprincipen handlar om energi och tid, och då handlar det också om position och fart. Så jag tänkte att om vi hypotetiskt mätte position med exakt säkerhet, skulle vi vara helt osäkra på dess position, och därmed helt osäkra på dess hastighet. Allt jag ville veta var om osäkerhet om position säkerställer osäkerhet om hastighet
- Om vi ignorerar relativistiska effekter är hastighet och momentum direkt proportionella mot varandra med partikeln ’ s vilmassa som proportionalitetskonstanten, så om du vet en exakt får du den andra gratis.
Svar
Om i din teori är momentumoperatören och hastighetsoperatören proportionell mot varandra, så ja. Att känna till en egenvärde betyder att känna till den andra. Det är alltid fallet med alla funktioner hos en ”känd” operatör.
Kommentarer
- I ’ m i grundläggande fysik 3 vid Georgia Tech tar det som ett valfag, så jag har inte kommit ’ så långt. Jag ’ Jag kommer noga att titta på det dock
Svar
Egna värden för Dirac-ekvationen är $ \ pm c $. Detta är välkänt sedan ekvationen hittades; se Diracs bok, ”Principerna för kvantmekanik, 4: e upplagan,”, Oxford University Press, Oxford 1958, kapitel XI ”Relativistisk teori om elektronen”, avsnitt 69, ”Rörelsen av en fri elektron”, sidan 262 Det brukade vara ett vanligt förekommande faktum inom kvantmekanik, men jag förstår nedrösterna, det är nu möjligt att få doktorsexamen i fysik utan att veta det minsta om följande ganska elementära beräkning. Delvis eftersom detta inte lärs ut mycket längre har härledningen dykt upp nyligen i litteraturen, se till exempel: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral svängningar i termer av zitterbewegung-effekten / hep-th / 0701091 , runt ekvation (11).
Vi börjar med att notera att hastigheten är tidshastigheten för ändring av position, och att du kan definiera tidsgraden för ändring av position med kommutatorn:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Om ovanstående verkar vara magiskt för dig, läs wikipedia-posten på Ehrenfests sats som anger principen och ger samma situation för icke-relativistisk kvantmekanik: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ och så $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (för det icke-relativistiska fallet) Således är det för den icke-relativistiska elektronmodellen möjligt att samtidigt mäta hastighet och momentum; deras proportionalitetskonstant är massan. Men med relativitet proportionaliteten händer inte så är situationen annorlunda.
För att ett tillstånd ska vara en egenstat för hastighet krävs att:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definierade den fria partikeln Hamiltonian som $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. I modern notation, $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ och $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, medan $ p $ är den vanliga momentumoperatören.
Observera att enda som inte pendlar med $ \ hat {x} $ är x-komponenten i momentumoperatören, vilket ger $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. Således ovan minskar till:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Med hjälp av wikipedias val av gamma-matrisrepresentation har vi: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Egenvärdena är erhålls genom att lösa karakteristiska polynom . Beräkna matrisdeterminanten och sätt den till noll: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Jag lämnar det som en övning för läsaren att visa att det finns två riktiga rötter, $ \ pm c $ vardera med ordning två.
De fyra lösningarna på hastighets egenvärdesproblemet för Dirac-ekvationen motsvarar höger och vänsterhänt elektron och positron. Det vill säga att hastighetens egenstatus för Dirac-ekvationen är exakt de vänster- och högerhäntillstånd som används för att representerar fermioner i standardmodellen . > Kommentarer
- Det finns två separata problem som kan orsaka nedröstningar (jag gjorde inte ’ t downvote ännu, fixa det). Först är Dirac Hamiltonian i en diskrediterad en-partikelbild av Dirac-ekvationen, där x är en operatör som beskriver positionen för elektronen. I rätt fältteoribild har nära Fock-tillstånd en fart som är p och en hastighet som är p / E i ett vågpaket, och de två kvantiteterna kan ha samtidiga värden (typ, eftersom partiklar är icke-lokala). Det andra problemet är att ekvationen du ger för hastighetens egenvärden har fyra lösningar, (c, -c, ic, -ic).
- Vad gäller problemet med fält teori kontra QM går, hastighetens egenstatus för elektronen är relaterad till zitterbewegung (zbw) som nyligen har fått en uppgång på grund av fysikforskning i fast tillstånd.Så jag ’ är inte säker på att det ’ är diskrediterat, se till exempel diskussionen om zbw och hastighets egenstater i Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Okej, jag ’ m fixar egenvärdesberäkningen; Jag sprängde determinanten.
- Jag tror inte ’ det ’ är helt diskrediterat, det behöver bara en diskussion — zbw är en egenskap av positrontillstånd som blandas med elektrontillstånd i enkelpartikelbilden, det är elektronen som sicksar fram och tillbaka i tiden i Feynman-beskrivningen. Det ’ är fysiskt, men bara i Feynman-formen av partikeldynamik, inte så mycket i fältteori-formen. Jag är säker på att detta är anledningen till att många människor automatiskt nedröstar enstaka partikeldiskussioner om Dirac eqn. Jag tycker inte ’ att det är nonsens, det innehåller mycket fysik, men det kräver en noggrann diskussion.
Svar
Argumentet att Heisenbergs osäkerhetsprincip förbjuder att vi kan känna till de exakta värdena för en partikels momentum och hastighet diskrediteras redan i den gamla läroboken av Feynman på Quantum Elektrodynamik.
Två observerbara kan bestämmas samtidigt om operatörerna pendlar. För hastighet och fart pendlar operatörerna $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; de gör även i Dirac-vågfunktionsteorin med dess Zitterbewegung-effekter.