Är Futures exakt Delta One?

Vidarebefordra delta är 1 (definierat som förändring i värdet på terminssidan med avseende på en omedelbar förändring av priset på det underliggande, vilket håller allt annat konstant.

För en meningsfull diskussion om skillnaderna i termins- och terminsprissättningen bör dock terminsprisdeltaget för framåtvägar övervägas och det är exp (r (Tt)). Även om deltaet för de två är identiskt värdet på en portfölj som innehar ett terminskontrakt framöver kommer att förändras över tid och det är därför: Skillnaden uppstår genom att räntorna inte är konstanta utan slumpmässiga och framåt är OTC-produkter som avvecklas vid förfall medan futures avvecklas dagligen. Denna subtila skillnad leder till olika kassaflöden eftersom pengar som sätts in på ditt konto eller att du behöver hosta på grund av dagliga marginalavvecklingar kan investeras / måste lånas till rådande räntor.

Till exempel, om den underliggande diskonteringsprocessen och den underliggande tillgångsprisprocessen är positivt korrelerade, så om tillgångspriserna stiger tvärtom blir räntorna lägre och överskott som dagligen läggs in på ditt konto måste investeras till lägre priser. Tvärtom när tillgångspriserna sjunker, måste du sätta in variationmarginal och låna till högre räntor. Följaktligen måste terminkontraktet prissättas lägre än terminen i detta exempel för att göra terminkontraktet lika attraktivt.

Kommentarer

• Tack Matt. Men om vi glömmer den dagliga marginalen för framtiden för tillfället? … Kan vi härleda hur delta inte exakt = 1 från formel: f = värde för framtida kontrakt = S (t = 0) – K exp (-rT)? Jag tar derivat av f, r kommer från avkastningskurvan är ett tal / float för en given t (Visst över tid är det ’ inte en konstant men vi läser av ett tal från avkastning kurva). Jag kan ’ inte se varför första derivatet av andra termen med avseende på S inte ’ t noll exakt.
• Deltaet för en framåt är inte 1. Det ’ s exp (r (Tt)) som en futures.
• Jag håller inte med. Kan du snälla gå igenom din härledning av framåt delta? Du måste rabattera värdeförändringen och därmed upphävs exp (r (T-t)).
• @Matt Wolf. Eftersom du samtycker till att terminspriset är det rabatterade spotpriset bör det vara tydligt att deltaet inte kan vara 1. Finansieringskostnaden för att köpa platsen ändras med det rabatterade spotpriset. Deltaet är därför rabattfaktorn.
• Jag redigerade mitt svar för att göra det mer exakt när utövare hänvisar till ett framåtdelta som 1 och när de definierar att det är exp (r (T-t)). I allmänhet beaktas dock terminsdeltagande på 1 eftersom de flesta handlare bryr sig om förändringar i värderingar och med att sätta upp exakta säkringar och inte hur terminspriserna förändras i framtiden (skillnaden mellan pris och värde på ett terminskontrakt är viktigt). >

Jag tror att det råder förvirring kring terminspriset och värdet av ett terminskontrakt. Ett terminskontrakt förpliktar utbyte av en tillgång någon gång i framtiden $ T $. Enligt konvention har detta terminskontrakt initialt värde noll (vid tiden $ 0 $).Terminskontraktet, som är en utbyte av en tillgång för ett fast belopp i framtiden, har vid något $ t \ i [0, T] $ ett värde på $ f (t, T) = S_t-Ke ^ {- r (Tt)} $. Detta kontrakt har helt klart delta lika med ett.

Tänk nu på problemet med det ”rätta” priset $ K $ vid tidpunkten noll. Enligt konvention är $ f (0, T) = 0 $. Med ekvationen $ S_t-Ke ^ {- r (T-t)} $ och lösning för K vid $ t = 0 $ ger $ K = S_0e ^ {rT} $.

$ K $ är inte tidsberoende: den är fixerad till tid noll. Men vid tiden $ t $ kan ett annat terminskontrakt initieras med löptid $ T $. Samma argument som ovan ger priset på $ K $ vid tiden $ t $ av $ S_t e ^ {r (T-t)} $. För att uttryckligen visa detta beroende av $ K $ på $ t $ ska jag nu låta $ F (t, T) $ beteckna värdet på $ K $ för ett terminskontrakt med utgången $ T $ initierat vid tiden $ t $. Eftersom $ F (t, T) = S_t e ^ {r (T-t)} $ är ”delta” för $ F (t, T) $ $ e ^ {r (T-t)} $.

Det är viktigt att notera att $ F (t, T) $ inte är en tillgång: trots allt är det diskonterade värdet på $ F (t, T) $ uppenbarligen inte en martingale under risk- neutralt mått. Det är mer naturligt att ta delta i terminsavtalet, som är en tillgång.

Vid tiden $ t $ är priset på ett terminskontrakt med löptid vid tiden $ T $

$ F (t, T) = S (t) e ^ {r (Tt)}, $

där $ S (t) $ är spotpriset vid tiden $ t $ och $ r $ är räntan. Terminsavtalets delta är därför

$ \ frac {\ partial F} {\ partial S} = e ^ {r (T-t)}. $

För $ r > 0 $ har vi därför $ \ partial F / \ partial S > 1 $ för $ t < T $.

Kommentarer

• F (t, T) = S ( t) er (T − t) är hur du beräknar ” rättvist ” framtida / lägre pris. Men när du väl har ingått ett kontrakt blir framtida / terminspriset konstant K. Både K och r är inte funktion av S. Om du tar första derivatet av f = [Värde för framtida kontrakt] = skillnad mellan Spot och PV (K) = S (t = 0) – K exp (-rT) … första term = 1.0 exakt, och den andra termen ska gå till noll (Som K / r / T alla konstanta med avseende på S)
• Jag vet inte ’ vad du menar med ” priset blir konstant ”. Uppenbarligen är priset på det terminskontrakt som du äger det aktuella priset på terminkontraktet (på en effektiv marknad).
• Tack RPG, men jag gjorde inte ’ t säg ” Priset blir konstant ”. Jag sa att K (framåt / framtida pris) för ett visst framtida kontrakt du tog ställning är ett konstant antal. När du har ingått ett kontrakt kan du ’ t ändra K.
• Men RPG tack för din ansträngning!
• Priset på en terminskontrakt har sitt ursprung vid $ t $ är $ S_t – F (t, T) e ^ {- r (Tt)} $. ” framtida pris ” är $ F (t, T) = S_t e ^ {r (Tt)} $ så att kontraktet vid ursprung har nollvärde. Delta i ett terminskontrakt är alltså 1.

För Vidarekontrakt , jag håller med @Matt att dess delta är exakt ett .

Detta kan ses av det vanliga argumentet utan arbitrage, där lång 1 Forward-kontrakt, kort 1 underliggande, och placera shortsellsprocessen i kontantkonto vid tidpunkten 0. Sedan vid Forward-löptid T kommer allt att vara avgjort med noll P & L. (dvs använd kontantkonto vid T för att utbetala terminsprisutbetalning F, bli underliggande och använd den för att stänga shortsells position.)

Som under hela denna självfinansieringssäkringsportfölj har jag endast shortsell 1 underliggande, därför är säkringen exakt delta en när som helst.

För Futureskontrakt dock är häcken inte exakt delta en, men exp {r (Tt)}

För en lång position i terminskontrakt, tillfälliga kassaflöden från markerade -to-market kommer att gå in på kontot. Denna del kommer att växa med riskfri ränta (förutsatt att den inte är slumpmässig). Följaktligen finns det ingen säkring att överväga för dessa kassaflöden eftersom det inte är en stokastisk term. (även om det påverkar Futures-priset som @Matt påpekade på grund av korrelation mellan ränta och underliggande, men det är en annan fråga.)

Den enda stokastiska termen i lång futuresposition är förändringen av Futures pris (man kan visa att dF = sigma F dB). Det är välkänt att F = S * exp {r (T-t)}. För varje 1-enhetsförändring av S kommer Futures-priset att ändras med exp {r (T-t)}, och det bidrar till värdeförändringen av Futures-positionen.

Delta i terminskontraktet är alltså exp {r (Tt)}

Eftersom deltaet är tidsberoende är säkring kommer att vara dynamisk och kräver frekvent justering av säkringsposition, jämfört med en statisk säkring av framåtposition (alltid delta en).

Jag har ytterligare ett bevis från min professor, men jag tror att jag bara kan dela det privat. 🙂

Tittar på inlägget – det verkar som om det är definitionen av delta i sig, inte detaljerna i formlerna , det är annorlunda

Jag trodde att deltaet var förhållandet mellan värdets förändring i derivatet och förändringen i samma (enhets) mängd underliggande

Inlägget verkar säga att deltaet är förhållandet mellan derivatets förändring och förändringen i ekvivalent -mängden av underliggeren

Kommentarer