Denna fråga kan vara lite lat, men kan någon ge mig ett bevis på Hill-sfärformeln? Enligt wikipedia är formeln för radien, $ r $
$$ r \ approx a (1-e) \ vänster (\ frac {m} {3M} \ höger) ^ {1/3} $$
där en massa $ m $ kretsar kring en mycket mer massiv massa $ M $ med en halvhuvudaxel $ a $ och excentrisk $ e $.
Kommentarer
- Titta på introduktionen i detta papper .
- Placera en testmassa mellan två massor, antag att ursprunget är i den större massan och beräkna var storleken på båda krafterna är lika?
- @Dave att ’ är ett ganska coolt papper (jag ’ planerade att få gjort något idag, men nu …), och Jag är säker på att den ’ finns där inne; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ och ” längdenheten skalas med faktorn µ $ {} ^ { 1/3} $ ” men jag ’ ser inte hur man får (1- e ) fram så enkelt.
- Eftersom en (1-e) är periastron?
- Det verkar som om de ’ faktiskt har lagt till en härledning till wikipedia-sidan – intressant något som inte nämns på wikipedia-sidan är att denna yta inte är sfärisk, det hänvisar till när en partikel på axeln går förlorad (under en enda händelse åtminstone – flera icke-resonanta händelser så småningom striper allt material utanför av Hill-radien som lämnar en sfär)
Svar
Hill-sfären definieras något annorlunda än Roche-loben , men radien approximeras med avståndet till Lagrange-punkter L 1 och L 2 .
För cirkulär rörelse med vinkelhastighet $ \ omega $ runt ursprunget har vi:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Acceleration på grund av tyngdkraften från en punktmassa på en annan massa vid position $ \ mathbf {r} $ ges av den vanliga inversa kvadratiska lagen:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Tänk nu på ett tvåkroppssystem med massor $ m_1 $ och $ m_2 $ , åtskilda av ett avstånd $ r $ kretsar kring deras gemensamma masscentrum (com) på avstånd $ r_1 $ och $ r_2 $ respektive.
sub > 1 < / sub >
Detta är ett endimensionellt system, så vi kan byta från vektorer till skalärer. Från definitionen av masscentrum har vi:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
För banan för $ m_2 $ runt masscentrumet, motsvarande gravitationsacceleration med erforderlig acceleration för cirkulär rörelse ger:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Och sedan uttrycka $ r_2 $ i termer av $ r_1 $ ger Kepler tredje lag:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Nästa hittar vi avstånd till L 1 -punkten, där gravitationskrafterna hos den primära och sekundära kombinationen ger den nödvändiga accelerationen för cirkulär rörelse.Att jämföra accelerationen för cirkelrörelse med gravitationskrafterna ger:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Och ersätter $ \ omega $ resulterar i:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ höger)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ vänster (r – h \ höger) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Skriv sedan om detta i termer av massförhållandet $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ och det relativa avståndet $ z = \ frac {h} {r} $ , vilket ger:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Detta resulterar i en quintic ekvation för $ z $ , som måste lösas numeriskt eftersom allmänna quintics inte har algebraiska lösningar (jag är nej t kommer att låtsas förstå beviset på detta ).
Förutsatt att vi befinner oss i en situation där $ m_1 \ gg m_2 $ , vilket är en bra uppskattning för solsystemets planeter, vi kan göra approximationer för att undvika att lösa kvintiken. I det här fallet är Hill-sfären mycket mindre än separationen mellan de två objekten, vilket innebär att vi kan approximera:
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {align} $$
Där den andra raden är binomial approximation . Detta ger:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Ordna om att lösa för $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Och sedan använda definitionerna av $ z $ och $ q $ detta blir
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Vilken är den vanliga formeln för Hill-sfärens storlek.
För L 2 , Lagrange-punkten ligger bortom den sekundära, så ekvationen av gravitationskraft och cirkelrörelse blir:
$$ \ omega ^ 2 \ vänster (r_2 + h ”\ höger) = \ frac {G m_1} {\ vänster (r + h” \ höger) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h ”^ 2} $$
Där $ h ”$ är avståndet från sekundär till L 2 -punkten.
Ersätt i $ \ o mega $ och omskrivning i termer av $ q $ och $ z ”= \ frac {h”} { r} $ ger:
$$ 1 + z ”\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z” \ right ) ^ {- 2} + qz ”^ {- 2} $$
Återigen ger detta en kvintisk ekvation för $ z” $ , men vi kan göra ungefärliga approximationer till fallet för L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 + z ”\ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z ”\ end {align} $$
Detta ger:
$$ 1 + z” \ approx 1 – 2z ” + qz ”^ {- 2} $$
Förenkling och ersättning av variablerna igen:
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Detta fungerar för cirkulära banor. För excentriska banor är det vanliga sättet att helt enkelt ersätta avståndet $ r $ med pericentrets avstånd $ a \ left (1 – e \ right) $ där $ a $ är den största axeln. Ett strängare tillvägagångssätt skulle vara att använda vinkelhastigheten vid centrum och härleda därifrån, men jag lämnar det som en övning för den intresserade läsaren 🙂
Kommentarer
-
+1Don ’ glöm inte quod erat demonstrandum !
Svar
Hill-sfären är uppkallad efter John William Hill (1812–1879) och dess enkla logik följer av närvaron av tre kroppar (låt oss anta att solen är den största massan med jorden som sekundärmassa och en satellit med försumbar massa som kretsar kring jorden som den tredje massan), där radien på Hill-sfären kommer att vara den största radien vid vilken en satellit kan kretsa kring den sekundära massan (jorden i detta fall). Om dess omlopp överskrider Hills-radien kommer den att falla till den första kroppens (solens) gravitationsinflytande och därmed inte längre vara en satellit för den sekundära kroppen.
Man kan skriva Newtons ekvationer med tanken att satelliten har samma vinkelhastighet som det sekundära objektet.Detta är att jordens vinkelhastighet runt solen är lika med satellitens vinkelhastighet runt solen. En demonstration om härledningen ges i följande länk såväl som i Roche-gränsen: