I detta svar skriver Jim Clay:
… använd det faktum att $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Uttrycket ovan skiljer sig inte alltför från $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Jag har försökt för att erhålla det senare uttrycket med standarddefinitionen av Fourier-transform $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ men alla Jag slutar med ett uttryck så annorlunda än vad som tydligen är svaret.
Här är mitt arbete:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ höger) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ höger) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ höger)} + e ^ {- j2 \ pi t \ vänster (f-f_0 \ höger)} \ höger) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Det är här jag sitter fast.
Svar
Ditt arbete är OK förutom problemet att Fourier-transformen av $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ inte finns i vanlig känsla av en funktion på $ f $, och vi måste utvidga begreppet till att inkludera vad som kallas distributioner, eller impulser, eller Dirac deltas, eller (som vi ingenjörer inte brukar göra, mycket för matarnas avsky) delta funktioner. Läs om de villkor som måste uppfyllas för att Fourier-transformationen $ X (f) $ för signalen $ x (t) $ för att existera (i vanlig mening) och du kommer att se att $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ inte har en Fourier-transform i vanlig mening.
Om du vänder dig till din specifika fråga, när du förstår att impulser definieras endast i termer av hur de beter sig som integrander i en integral, det vill säga för $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ förutsatt att $ g (x) $ är kontinuerlig vid $ x_0 $, då är det lättare att härleda Fouriertransformationen av $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ vänster. \ frac {1} {2} \ höger [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ höger] $$ genom att fundera på att $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ och så måste det vara så $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ är inversen Fouriertransformationen av $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ höger] $.
Svar
Sedan använd bara en tabell med Fourier-transformpar för att se att $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ och variabel substitution ($ f_1 = f + f_0 $ och $ f_2 = f-f_0 $), för att få det du behöver.
Kommentarer
- Vilket naturligtvis väcker frågan hur personen som skrev ner bordet kom fram med svaret som finns i tabellen.
- @DilipSarwate 🙂 Nu ställer du ' en mycket, mycket svårare fråga. 🙂
- Se mitt svar för en version av svaret på den mycket svårare frågan som kan passera på detta stackexchange om inte på matematik.SE!
- @DilipSarwate: du ' har redan fått min +1. Tack, trevligt svar. Gick med på att matematik. SE-killar skulle vara förskräckta. Det är OK, vi ' är ingenjörer. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…