Bästa sättet att lära sig trigonometri

Schaums konturer är väldigt praktiska i allmänhet och billiga. Bra för en äldre elev. svar är direkt efter problemen kontra i slutet. Och du får alla svar, inte den udda / jämna gypen. Så passar självlärande.

Jag gillar den här, totalt sett och äger den: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Det är från 1960-talet, så språket är inte arkaiskt, men det är inte ”ny”. Inte säker på vilken nytta annat än språk du vill ha från nyare versioner, men om du vill ha en nyare, har de en ny 4: e upplagan College Math du kan få istället.

Obs! Detta är en allmän förberäkning bok (och förmodligen vad du behöver). Men om du bara vill ha en trig-primer har Schaum det också. Uppenbarligen fler trigproblem i trig-boken än precalc-boken (som har alla vanliga gymnasiekurser).

Ps Det skulle vara lättare att ge dig råd om hade berättat för oss vilka böcker som misslyckades med dig. Som om jag skrev ett långt svar förgäves?

Pss Jag är inte säker på varför trig är så mycket ett hinder för människor. Men jag rekommenderar att du först tänker på synd och cos och sådant i enhetscirkeln, inte förhållanden mellan sidor av trianglar. Det är bara ett enklare koncept och utan ett förhållande att hålla reda på.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn gör det lite mer komplicerat här genom att prata om förhållanden. Men när jag fick veta det var den stora fördelen en allra första introduktion utan förhållanden … bara x- och y-axlarna i enhetscirkeln.

Kommentarer

• Tack för svaret! Och du ’ har rätt, jag borde ha nämnt vilka böcker. De 3 böckerna är Trigonometry, 5: e upplagan av Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies av Mary Sterling, och College Trigonometry av Stitz och Zeager, 2013. Jag ’ Jag kommer att börja prekalkylera vid uni när sommaren slutar och jag ’ är säker på att jag ’ kommer att bli bekväm med trig snart nog. Jag hoppas bara lära mig nog i medeltiden så jag avslutar min första kurs utan för många stötar på vägen.
• Se till att du har många problem. Du kanske känner att ” Jag ’ får inte det ”. Men om du arbetar med stora mängder problem kommer det bara att räffas in i huvudet. Och arbetsproblem innebär att man täcker svaret, jobbar hela vägen. Kontrollerar ditt svar. Upprepa (helt) alla problem som missas från grunden (även för dumma teckenfel). Behandla det som fysisk träning för en sport eller att lära dig musikinstrument. Var flitig.
• @RustyCore Bara för att vara tydlig, jag ’ övergår från en lokal högskola. Det jag studerade på college var inte relaterat till matematik och hade väldigt lite matematikkrav, varför min första matematikklass vid uni var förberäknad.
• @guest, förstår jag. Men jag tror att Rusty var övermodig och oförskämd. Jag ’ Jag är helt medveten om att få denna examen kommer förmodligen att vara den mest utmanande och stressiga tiden i mitt liv, men jag vill inte ’ att stänga mig från det bara för att jag ’ har svårt med ett ämne. De flesta slutar och säger att de ’ bara inte är matematikmänniskor när de möter en vägspärr och omedelbart stänger sig av från ytterligare matematik eller från grunderna som de behöver en uppdatering av. Jag ’ jag försöker undvika det eftersom jag gjorde precis som tidigare år.
• @Lex_i, du låter som en mogen student och jag har haft många studenter som du som utmärker dig. Jag hoppas att dina äventyr i matematik ger dig glädje.

Kanske kan ett visuellt synsätt komplettera din studie? Det finns många sådana resurser tillgängliga på webben, inte i läroböcker. Till exempel Trig intuitivt :

---

         
          ^{Obs! Etiketterna visar var varje artikel ”går upp till . ”}

---

Ytterligare: Interaktiv enhetscirkel . En annan: Inverse Trig-funktioner .

Kommentarer

• it ’ ett användbart diagram. Jag skulle lägga till en ansvarsfriskrivning om att begreppet liknande trianglar används för att förhindra förvirring.
• Jag tror att diagrammet skulle vara mer användbart om det visade vinkeln och vad alla funktioner är en funktion av . Det ser ut som att det ’ är utformat för att komma ihåg vad du redan vet, inte för att lära dig trig från grunden.
• @JessicaB: 1: a, det är inte mitt diagram: -). För det andra finns det en berättelse som följer den; det är inte avsett att stå ensam. För det tredje tycker jag det är användbart att till exempel se att $ \ sin \ le \ tan $ och $ \ sec \ ge \ tan $ och $ \ tan $ kan vara obegränsade, etc.
• @ JessicaB: PS. Vinkeln är vinkeln i mitten av cirkeln, vilken cirkel är tyvärr nästan osynlig i min ögonblicksbild.
• @JosephO ’ Rourke Jag vet att du inte ’ teckning. Och jag vet nu att vinkeln är den i mitten, för jag vet trig. Men när jag först stötte på det blev jag väldigt förvirrad eftersom jag inte hade ’ t hämtat förhållandet till vinkeln.

Jag föredrar personligen en läroböckerekommendation som jag kan ladda ner eller hämta som [helst] inte är gammal och inte gör inte trigonometri skrämmande att närma sig (särskilt en som betonar att förstå bevis bakom egenskaper / teoremer).

Jag har inte läroböcker att rekommendera, men jag kan rekommendera ett tillvägagångssätt för att göra trigonometri som underlättar matematisk förståelse av det genom att kristallisera logisk grund för trigonometri och algebraisk struktur för trigonometriska uttryck. Det finns två ”nivåer” till detta, beroende på om du vill gå direkt till kompl ex-nummer eller håll dig inom verklig trigonometri. I båda fallen är fokus på att identifiera inneboende kärnan i trigonometri och reducera allt annat till det.

---

Verklig trigonometri

Nyckelmängderna är $ \ cos (t) $ och $ \ sin (t) $ , som är $ x $ och $ y $ koordinater för punkten $ P_t $ på enhetscirkeln som täcker en längdbåge $ t $ moturs från $ x $ -axis, som avbildad i bilden från wikipedia :

Här mäts båglängden längs enhetscirkeln och $ π $ definieras som halvlängds båglängd, så $ 2π $ är $ 360 ° $ . (Detta sätt att mäta vinklar kallas ofta för att mäta dem i ” radianer ”, men jag personligen tycker att det är en onödig term.) Obs att $ P_t = P_ {t + 2πk} $ för alla heltal $ k $ , eftersom $ 2πk $ skulle vara ett heltal multipel av hela omgångar. Observera också att en ökning av $ t $ flyttar $ P_t $ moturs, samtidigt som $ t $ flyttar $ P_t $ medurs. Relaterat till det är $ P _ {- t} $ reflektionen av $ P_t $ över $ x $ -ax.

Observera att tecknen på $ \ cos (t) $ och $ \ sin (t) $ matchar exakt tecknen på $ x $ och $ y $ koordinater för punkten på cirkeln. (Lyssna inte på människor som säger att du kommer ihåg något för att avgöra vilken av dem som är positiv i vilken kvadrant.)

Och bara per definition, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ för varje riktig $ t $ . Detta är första algebraiska fakta .

Därefter $ \ tan (t) $ är definierad som $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historiskt har vi också definierat $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ och $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ och $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , men uppriktigt sagt är det liten fördel att ha så många när $ \ cos, \ sin $ ensam räcker.) När du vill förenkla alla trigonometriska uttryck som involverar $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , du borde antagligen utföra den matematiska standardtekniken för omskrivning i kanonisk form , vilket i detta fall betyder omskrivning i termer av $ \ cos, \ sin $ ensam, medan notera var det ursprungliga uttrycket inte är definierat (till exempel $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ för någon riktig $ t $ endast när $ t $ inte är en multipel av $ π $ ).

andra viktiga algebraiska fakta uppstår genom att överväga rotationsmatriser som tillämpas på vektorer. (Om du inte känner till matriser som operatorer på vektorer, läs först detta . För en introduktion till vektorer i euklidiskt utrymme, se här .) Låt $ R $ vara vilken rotation som helst om ursprunget i planet. Då uppfyller $ R $ tre egenskaper:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ för alla vektorer $ u, v $ (dvs. att summera två vektorer och sedan rotera resultatet ger samma som att rotera de två vektorerna först innan de summeras).
2. Om $ R, S $ är moturs rotationsvinklar $ t, u $ respektive, då är $ R∘S $ en vinkel motsols rotation $ t + u $ .
3. Om $ R $ är en rotation moturs för vinkel $ t $ , sedan:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ för alla verkliga $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ för alla riktiga $ y $ .

Vi kan ta dessa egenskaper som axiom (antagande) om rotationer. När allt kommer omkring, om $ R $ inte uppfyller dem, skulle vi inte kalla $ R $ en rotation till börja med. För att se varför fångar egenskapen (1) intuitionen att roterande två anslutna stavar kommer att rotera båda stavarna med rotationsvinkeln samtidigt som de bibehåller var de ansluter. Fastighet (2) behövs bara i kombination med egendom (3). Egenskap (3a) följer från definitionen av $ \ cos, \ sin $ , och egenskapen (3b) följer från samma definition som roteras $ 90 ° $ moturs.

Egenskaper (1) och (3) ger matrisformen av en 2d-rotation:

Om $ R $ är en moturs rotation av vinkel $ t $ , sedan $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Och sedan använder vi egenskapen (2) få:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ för alla realer $ t, u $ .

Att multiplicera matrisprodukten till höger och jämföra med matrisen till vänster ger omedelbart vinkel- summaidentiteter:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ för alla verkliga $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ för alla verkliga $ t, u $ .

När du vill förenkla uttryck som involverar trigonometriska funktioner på summan av vinklar, bör du överväga att använda dessa identiteter för att minska det uttryck som ska vara i termer av $ \ cos, \ sin $ av så få vinklar som möjligt.

Faktum är att alla trigonometriska i tandvårtor som endast involverar aritmetiska operationer och trigonometriska funktioner kan bevisas med bara ovanstående definitioner och viktiga algebraiska fakta. Lite märkligt kan även symmetriegenskaperna bevisas algebraiskt enligt följande.

Med tanke på vilken riktig $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [vinkelsumma]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [vinkelsumma]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Om vi går vidare till verklig analys, skulle vi behöva följande fakta, som kan ses som axiomer för nu (och motiveras separat senare):

1. $ \ sin ”= \ cos $ .
2. $ \ cos ”= – \ sin $ .

Som tidigare, allt ca n reduceras till dessa, så det finns inget verkligt behov av att memorera något mer (även om det kan vara bekvämt att göra det).

---

Komplex trigonometri

Personligen, Jag tycker att det är bäst att gå direkt till de komplexa värderade trigonometriska funktionerna, om man önskar en komplett och rigorös grund för det matematiska fältet för analys . Man definierar helt enkelt: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ för varje komplex $ z $ (efter bevisar att summan konvergerar).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ är två gånger den första positiva roten till $ \ cos $ ( efter att ha bevisat att det finns).

Motivationen är att vi vill ha $ \ exp: \ cc → \ cc $ så att $ \ exp ”= \ exp $ och $ \ exp (0) = 1 $ , för att kunna lösa allmänna linjära differentialekvationer, och vi vill ha $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ så att $ \ cos ”” = – \ cos $ och $ \ sin ”” = – \ sin $ och $ ⟨\ cos (0), \ cos ”(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ och $ ⟨\ sin (0 ), \ sin ”(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , för att kunna lösa enkel harmonisk rörelse, och Taylor-expansion tar oss till definitionerna ovan för $ \ exp, \ cos, \ sin $ , som vi kan visa sig konvergera på hela det komplexa planet. Ovanstående definition av $ π $ är den enklaste jag känner till som inte beror på någon geometri. (För mer information om denna motivation, se det här inlägget .)

Det räcker med att säga att med dessa definitioner kan vi bevisa med grundläggande analys att $ \ exp, \ cos, \ sin $ uppfyller de önskade motiverande egenskaperna samt en annan nyckelegenskap av $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ för alla komplexa $ z, w $ .

Med den här egenskapen kan vi bevisa alla trigonometriska identiteter via algebraisk manipulation ensam (och de håller för komplexa variabler och inte bara verkliga variabler).

Till exempel med tanke på alla komplexa $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Det är ändå ofta lättare att först bevisa samma viktiga algebraiska fakta för $ \ cos, \ sin $ och använd dem sedan för att bevisa andra identiteter än för att reducera allt till $ \ exp $ .

Kommentarer

• För ytterligare matematisk undersökning är du välkommen till det här chattrummet .

Gör Saylor Academy eller edX har du något som hjälper dig? De är båda gratisplattformar med matematikkurser. Saylor Academy använder nästan uteslutande en lärobok – du kan faktiskt få kredit genom dem. Modernstates.org kan också hjälpa dig – de har en självstyrd kurs med videor för att lära ut det. Rootmath kan också vara en bra resurs. Planerar du att få kredit för den här kursen genom Clep?