Jag fick ett problem för läxor där vi behövde beräkna tiden för ett fallande objekt för att nå en viss hastighet när man redovisar dragkraft. Jag gjorde det genom att ställa in acceleration som en funktion av hastighet och integrering (det var en differentialekvation).
Detta är dock en introduktionskurs i fysik, utan kunskap om kalkyl som krävs för att gå in. Vi har inte ens gjort derivat ännu, strängt taget. Jag hade turen att ha tagit kalkyl tidigare, så jag var kunna känna igen och lösa differentialekvationen.
När jag frågade mina klasskamrater hur de gjorde det sa de att de trasslade med siffror tills de fick något som fungerade (det var online utan poäng avdragna för fel svar För de flesta av dem delade de bara terminalhastigheten med acceleration på grund av tyngdkraften, vilket inte är vettigt, eftersom vi inte ens bad om tid det tog att nå terminalhastigheten, men 63% av den. Den metoden råkade precis avrunda till samma nummer som den rätta.
Min fråga är, finns det något sätt att hitta detta värde med hjälp av elementär fysik, eller gav min professor oss ett orättvist problem? TA: erna hjälpte inte och jag har lektion under hennes kontorstid.
Själva frågan är följande:
terminalhastighet för en 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg regndroppe är ungefär 9 m / s. Förutsatt att en dragkraft $ F_D = −bv $, bestäm den tid som krävs för en sådan dropp, med början från vila, för att nå 63 % av terminalhastigheten.
Kommentarer
- Eftersom svaret innebär en exponential / logaritm på ett sätt eller någon annan skulle man behöva utveckla någon form av lösning som involverar en exponentiell / logaritm. Välj ditt gift … Jag har en känsla av att ' kommer att vara en ungefärlig beräkning av kalkylen.
- Jag tror att en lösning med logaritmer skulle vara rättvist spel. Vi ' förväntar oss ganska mycket att veta det. Problemet är att jag kan ' t för livet för mig tänker på något sätt att göra detta som inte ' t innebär en differentiell ekvation. Kanske jag t ' s eftersom jag ' jag brukade göra problem på det sättet efter att ha tagit kalkyl. Om någon kunde komma på en annan metod skulle det vara mycket uppskattat.
- Det ' är möjligen relaterat till att 63% är $ 1 – e ^ {- 1} $
Svar
Om dragkraften modelleras som en linjär funktion av hastigheten $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, då är problemet enkelt . Den vertikala kraftbalansen för en fallande droppe är $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ vilket ger följande differentialekvation för hastigheten: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ I det begränsande fallet för maximal hastighet / nollacceleration $ (\ dot {v} = 0) $ förenklas kraftbalansen till $$ mg = bv_ {max} , $$ eller $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Återgår till vår differentiella ekvation, om starthastigheten $ v (0) = 0 $, då är lösningen till denna ODE är $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Genom att definiera tidskonstanten som $ \ tau = \ frac { m} {b} $ och med definitionen av terminalhastigheten förenklas tidsutvecklingen av hastigheten till $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ höger]}. $$ Positionen, om så önskas, hittas enkelt genom att utföra en annan integration: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Förutsatt att den ursprungliga positionen $ y (0) = 0 $ och förenklas, är lösningen för vertikal position $$ \ boxad {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ höger]}. $$ Så vi har nu analytiska lösningar för det fallande objektets acceleration, hastighet och position som en funktion av tiden och systemparametrarna, som alla är kända ( förutom $ b $). Observera dock att den begärda tiden för att nå en hastighet på $ 0.63v_ {max} $ inte är godtycklig. När en tidskonstant har passerat har vi $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxad {63.212 \%}. $$ Således behöver vi helt enkelt beräkna värdet på tidskonstanten och det resulterande värdet blir ditt svar. När det gäller dina klasskamrater har de inte fel. Vårt mål är att beräkna $ \ tau $, och om du tittar noga på vår tidigare matematik ser du att $ \ tau $ verkligen motsvarar terminalhastigheten dividerad med $ g $. Oktavdiagram över position, hastighet och accelerationsfunktioner ingår nedan för referens (ersätt $ k $ med $ b $ i det andra diagrammet).
Kommentarer
- Ja, vi lärde oss aldrig att ekvation du länkade till. Men tack, det här är ganska mycket precis vad jag letade efter.Jag ville bara veta om det fanns en mer allmän metod för att lösa den här frågan som vi skulle kunna ta reda på, och det ser ut som att svaret är nej.
- @JakeChristensen Det kan fortfarande finnas en annan sätt att hitta ditt svar, men kom ihåg att Calculus (åtminstone Newton ' s Calculus) uppfanns för att lösa fysikproblem 😉
Svar
Drag är vanligtvis proportionellt mot hastigheten i kvadrat, och därmed är accelerationen nedåt
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Lösningen på sådan rörelse är $$ \ begin {align} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ höger) \ slut {justerad} $$
Så koppla in den hastighet $ v $ du vill rikta in dig och det ger dig avståndet $ x $ och $ t $ för att nå den.
PS. Om du inte känner till dragparametern $ \ beta $ , men istället känner till topphastigheten, kan du uppskatta den från topphastigheten genom att lösa $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Svar
1) Hitta dragkraften vid terminalhastighet. 2) Multiplicera denna kraft med .63 (63%) 3) Dela den här nya kraften med massan av regnfallet 4) Använd hastighetsaccelerationstiden kinematik ekvation för att lösa för tiden $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Kommentarer
- Det här är inte ' t korrekt. Du antar att accelerationen är konstant (vilket det uttryckligen inte är i någon fråga om förändrade hastigheter och luftmotstånd) . Jag ' antar här att $ a (t) $ betyder $ a * t $, eftersom om du menar $ a $ som en funktion av $ t $ är det ingen mening med alla.