Betydelsen av Fock Space

Antag att du har ett system som beskrivs av ett Hilbert-utrymme $ H $ , till exempel en enda partikel. Hilbert-utrymmet i två icke-interagerande partiklar av samma typ som beskrivs av $ H $ är helt enkelt tensorprodukten

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Mer allmänt för ett system med $ N $ partiklar som ovan, Hilbert-utrymmet är

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

med $ H ^ 0 $ definierad som $ \ mathbb C $ (dvs. fältet som ligger bakom $ H $ ).

I QFT finns operatörer som sammanflätar de olika $ H ^ N $ s, det vill säga skapa och utplåna partiklar. Typiska exempel är skapande och förintelseoperatörer $ a ^ * $ och $ a $ . I stället för att definiera dem i termer av deras åtgärder på varje par av $ H ^ N $ och $ H ^ M $ får man ge en " omfattande " definition på det större Hilbert-utrymmet som definieras genom att ta den direkta summan av alla -partiklar, dvs.

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

känd som Fock Hilbert-utrymmet för $ H $ och ibland också betecknat som $ e ^ H $ .

Ur fysisk synvinkel är den allmänna definitionen ovan av Fock-utrymme oviktig. Det är känt att identiska partiklar observerar en bestämd (para) statistik som minskar det faktiska Hilbert-utrymmet (genom symmetrisering / antisymmetrisering för det bosoniska / fermioniska fallet …).

Kommentarer

• Fantastiskt svar! Jag önskar att de skriver QFT-läroböckerna så här.

Bra svar, men bara för fullständighet kanske det kommer att vara illustrativt för att ha ett exempel.

Antag att din $ H ^ 1 $ innehåller några enstaka partikeltillstånd $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, etc. Fock-utrymmet tar bort begränsningen på att vara en enda partikel, och består av $ H ^ 0 $ (som är 1-dimensionell), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, etc. Detta tillåter tillstånd som

• vakuumtillståndet, låt oss kalla det tomma ket $ | \ rangle $,
• alla enskilda partikelstatus, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• alla tvåpartiklar, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (Observera att denna konstruktion anser att de kan urskiljas),

men viktigast av allt

• någon superposition av ovanstående , som $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ höger) $.

Det här utrymmet är i sig oändligt dimensionellt även om du börjar med något litet som en qubit. Om du vill föreställa dig resultatet med hjälp av en bas, sammanfoga bara listorna över grundtillstånden för alla komponenter:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

I mest triviala inställningen har den enskilda partikeln egentligen inga distinkta tillstånd, så $ H ^ 1 $ är 1-dimensionell. Det är ändå vettigt att välja ett fiducialt tillstånd $ | {} \ circ {} \ rangle \ i H ^ 1 $ och konstruera Fock-utrymmet med bas

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

ett exempel på ett tillstånd kan vara, säg, ett sammanhängande tillstånd

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

och du har ett bra exempel på varför människor kan tala om excitationer som ”fononer” i en harmonisk oscillator även om det bara är en enda partikel som oscillerar!

Ja, det gör det. Du bygger ett ”stort” Hilbert-utrymme från de ”små”, om du vill.