Låt oss säga att på något sätt $ 100 (1- \ alpha) \% $ konfidensintervall av befolkningens medelvärde $ \ mu $ är känt som $ (a, b) $ och antalet prover är $ n $ . Är det möjligt att härleda poängskattningar av populationsmedelvärde och befolkningsvariation? I detta fall är antagandet att befolkningen följer normalfördelningen.
En idé är att eftersom konfidensintervall för populationsmedelvärde kan beräknas om vi känner till provmedelvärde $ \ overline {x} $ och populationsvarians $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , vi kan ställa in $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ och lösa för $ \ overline {x} $ och $ \ sigma $ . Visst, i detta fall kan $ \ overline {x} $ behandlas som poängskattning av befolkningens medelvärde. Men vad sägs om $ \ sigma ^ {2} $ ? Är denna ”sanna” befolkningsvarians eller är detta bara ”poänguppskattning” av befolkningsvarians? Jag är verkligen förvirrad över hur $ \ sigma ^ {2} $ ska tolkas i det här fallet.
Svar
Du kan härleda $ \ bar {x} $ och $ \ sigma ^ 2 $ som genererade det konfidensintervallet, ja. Att känna till provstorleken och $ \ alpha $ -nivå är dock mycket viktigt och du kan inte lösa problemet utan den informationen.
Z- baserat konfidensintervall innebär en känd varians som används för att beräkna konfidensintervallet, så när du använder bredden för att lösa varians löser du den sanna variansen $ \ sigma ^ 2 $ , inte en uppskattning $ s ^ 2 $ . Om konfidensintervallet är t-baserat skulle du lösa för $ s ^ 2 $ .
Bredden på ett z-baserat förtroende intervallet beror inte på data, eftersom du vet populationsvariansen. När du känner till en parameter bryr du dig inte om att uppskatta den.
Kommentarer
- Om jag förstod bra, skulle svaret bero på om konfidensintervallet härrör från z-baserad metod eller t-baserad metod. Tack för ditt svar.
- Det kommer in i varför vi använder z-baserade intervall och t-baserade konfidensintervall. Om vi känner till befolkningsvariansen, vi bryr oss inte ' med t-baserade konfidensintervall, och det z-baserade intervallet har sin bredd bestämd av $ \ sigma ^ 2 / 2 $. När vi ' inte känner till populationsvariansen (ganska mycket alltid) uppskattar vi befolkningsvariansen med $ s ^ 2 $ och använder t-baserade konfidensintervall för att ta hänsyn till osäkerheten kring uppskattningen (dvs. redogöra för att vår uppskattning kan vara en dålig uppskattning).