Enheter i gravitationskonstant

Tja, vägen att hitta enheternas konstant är att betrakta ekvationen som den deltar i:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ är en kraft: så det mäts i newton ($ \ operatorname {N} $). En newton är den kraft som krävs för att ge ett kilo en acceleration på en meter per sekund per sekund: så, i SI-enheter är dess enheter $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ och $ m_2 $ är massor: i SI-enheter mäts de i kilogram, $ \ operatorname {kg} $ och $ r $ är en längd: den mäts i meter, $ \ operatorname {m} $.

Så igen, i SI-enheter kan vi skriva om ovanstående som något liknande

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

där $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ och $ \ rho $ är rena siffror (de är de numeriska värdena för de olika kvantiteterna i SI-enheter). Så vi måste få dimensionerna på detta för att vara vettigt, och bara gör detta är det direkt uppenbart att

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

där $ \ gamma $ är ett rent tal och är det numeriska värdet på $ G $ i SI-enheter.

Alternativt om vi lägger tillbaka ton på LHS vi får

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

För att svara på detta måste vi titta på ekvationen $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Så om G mäts i $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, och massan mäts i kg och avståndet mäts i m, så mäts kraften med $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, vilket förenklar till $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

Och nu för att definiera $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ kan dina instinkter vara att dela upp det i $ \ rm m / s ^ 2 $ och kg. Om $ \ rm m / s ^ 2 $ är en accelerationsenhet och kg är en massaenhet, måste kraften vara mass gånger acceleration. Detta beskrivs av Sir Issac Newton PRS ”andra rörelselagen beskriver:

$ F = ma $

Så det är vettigt att gravitationskonstanten G mäts i $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Kommentarer

• Inte säker på att ” PRS ” behövs för att beskriva Newton

Det är ett problem.

Konstanter hänvisar till rena tal så det är verkligen roligt att en konstant ska ha måttenheter.

Det är ett passande problem. Du hittar, eller gissar att något beror på något annat, proportionellt som när x går från 3 till 4, y går från 6 till 8, (så y = 2 * x där 2 är konstant) eller omvänt proportionell (y = x / 2), så när du är nöjd med att du hittat allt som kan påverka det något har du ganska mycket din ekvation, som y = a x ^ 2 + bx + c det enkla kvadratiska i en dimension eller något liknande w = x y.

Det sista steget är att lägga till konstanter så att siffrorna, resultaten matchar.

Men om enheterna inte matchar med dina måttenhetsprinciper har du ett problem. Du kommer att offra för detta om din konstant håller även om den har enheter, men kanske vara medveten om att det finns mer i ekvationen än denna förenkling eller naturligtvis att din ursprungliga idé om måttenheter har en brist. omdefiniera dina första principer, dvs hastigheten är inte meter / sekunder så låt oss lämna det för nu.

Gravitationsekvationen i denna form är också mycket lik Coulombs lag, för lik i själva verket, båda är mestadels guider att säga att kraften är proportionell mot föremålens massor och omvänt proportionell mot kvadratet på deras avstånd (i tyngdkraftsfallet)

Du får snygga kvadrater med gravitationskraften, dvs. (kg / m) 2 så om det hela är kvadrat kan du undra vad kg / m är.

Till exempel: rutor visas när du är addi ng grejer genom integration, integrerar ett annat fint matematiskt begrepp som dock, åtminstone grafiskt, är en approximation.

Så vi säger om y = x ^ 2 då dy / dx = 2x och integration är det motsatta av differentiering , med notationen ”Integral of x” som I (x), sedan I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (vi lägger alltid till en konstant i integrationen för den saknade delen.

Så kanske (gravitationskraften) är f = I (något) så att den hamnar i kvadrat.

Force är ett roligt djur. Du har saker som impulser som om du har saker som energi, arbete och kraft alla dessa begrepp inom fysik, anslutna. Till exempel iirc arbete = kraft * tid men det är bara sunt förnuft att prata så jag slutar här.

Tillagt:

För att börja tänka på kg / m och vad det är, en sak som tänkte på, dessa två är anslutna när något reser ett avstånd, hur beror avståndet på massan? Tja, säkert när du fick friktion, är massan viktig. Du kan också tänka på densitet, vilket är massa / volym.

Så F ~ volym ^ 2 och kanske F = volym något, som återför det till kg m / s ^ 2. något som i det upplevbara lokala är stabilt, konstant. Kom ihåg om F = I (x) och det har m / s ^ 2 i sig, finns det en integrerad relation mellan hastighet och acceleration (s = v t + a t / 2) där s är avstånd, v är hastighet, a är acceleration och t-tid. Tänk på att integration också är subjektiv, du integrerar över något så om w = x y och både x och y är variabler kan du integrera w över x och du kan integrera w över y. Dessa är / (kan vara) tillsatser förutsatt att de är oberoende coz om y = f (x) kan du gå till en variabel w = x f (x) => w = g (x)

Eftersom denna fråga hade 46K (!) visningar kan det vara bra att lägga till ett svar även efter fyra år.

$ G $ är en experimentell konstant som krävs för att matcha Newtons potentiella energi för att experimentera. Newtons potentiella energi är $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Dividerat med energin $ mc ^ 2 $ får du den dimensionlösa potentialen $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Eftersom $ V $ är dimensionslös $ GM / c ^ 2 $ är en längd. Denna längd tolkas som halva radien för ett svart hål med massan M, $ r_M / 2 $ . G har dimensionen $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Du kan därför också skriva den dimensionlösa potentialen som $$ V = r_M / 2r $$ där den enda konstanten är en längd med en klar om än exotisk tolkning.

Den mest direkta tolkningen – en som överskrider paradigmskillnaden mellan relativistisk och icke-relativistisk fysik, och är kopplad till Raychaudhuri-ekvationen, är att när det gäller volymkontraktionen.

Ett moln som omger en massa av massa $ M $ , vars beståndsdelar alla är i radiell rörelse, har en volym som funktion av tiden $ V (t) $ uppfyller ekvationen $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Om det ursprungligen är stilla, är volymens initiala acceleration under tyngdkraften är $ – 4πGM $ , det negativa indikerar att den börjar samlas.

Så, enheterna för $ GM $ är kubikmeter per sekund, per sekund.

Generaliseringen av detta till en $ n + 1 $ dimensionell rymdtid är $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ med konventionen $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , där $ G_n $ är $ n $ – dimensionell version av Newton-koefficienten; vars enheter skulle vara meterⁿ / (sekund² kilogram).