Vad är en enkel skelettbeskrivning av utbytesinteraktion mellan två elektroner?
Till exempel verkar det för mig att den enda nödvändiga ingredienser är Coulomb-interaktionen och kravet att den totala vågfunktionen ska vara antisymmetrisk.
Kommentarer
- Din intuition är korrekt. En matematisk beskrivning av hur dessa två ingredienser konspirerar för att skapa växelinteraktioner finns i Ashcroft & Mermin (kapitel 32) [detta är en ganska standardberäkning och jag ' är säker på att det också förekommer på många andra platser]
- Det är också i Griffiths introkvantbok. Någonstans.
- Det har ingenting att göra med Coulomb-styrkan, det skulle också vara ett växelverkan mellan två oladdade men oskiljbara bosoner.
Svar
Utbytesinteraktion är ett tillägg till andra interaktioner mellan identiska partiklar orsakade av permutationssymmetri.
Denna tillägg är ett resultat av specifik form av flerpartiklar vågfunktion. Det ger inget bidrag till Hamiltonian till skillnad från ”vanliga” interaktioner men visas som en ytterligare term i ekvationer för enstaka -partikelvågfunktioner (t.ex. Hartree-Fock-ekvation).
Interaktion vanligtvis associerad med energi och krafter. Vi kunde hitta utbyteskorrigeringen som en kraft som läggs till Coulomb-krafterna, men vi bör först förstå vad som är kraft i kvantsystemet.
Låt oss betrakta två fermioner med enpartikelskoordinatvågfunktioner $ \ psi_a ( x) $ och $ \ psi_b (x) $ och rotationsvågfuktioner $ \ phi_a (s) $ och $ \ phi_b (s) $. De möjliga tvåpartikelvågfunktionerna är singlet med symmetrisk koordinatdel $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vänster [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ höger] $$ och triplett med antisymmetrisk koordinat del $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vänster [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ höger] $$
Låt tvåpartiklarna Hamiltonian inte bero på snurr: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ då kommer den genomsnittliga energin för interaktionen att vara: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ höger | V \ vänster | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ höger > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ höger | V \ vänster | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ höger > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ höger | V \ vänster | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ höger > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ höger | V \ vänster | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
Termen $ U_ \ text {ex} $ är inte bara noll om partiklarna är tillräckligt nära varandra och deras vågfunktioner överlappar varandra (se bild nedan). I klassisk gräns när avståndet $ L $ är stort är överlappningen noll och $ U_S = U_A = U $
Låt oss anta att $ \ psi_a $ och $ \ psi_b $ inte är negativa överallt där $ V $ fungerar som Coulomb-interaktion (dvs. positivt och minskar när avståndet ökar). Sedan $ U $ och $ U_ \ text { ex} $ är positiva och energin för symmetriskt koordinattillstånd (motsatta ryggar) är högre än energin för antisymmetriskt koordinattillstånd (liknande ryggar). Om medelpositionerna för partiklarna är fasta kommer växelverkan att sätta snurren i samma riktning.
Interaktionskraften mellan partiklarna kan definieras som den generaliserade kraften som motsvarar parametern L: $$ F = – \ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ Inom våra antaganden om $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ och $ V $ derivatet av både $ U $ och $ U_ \ text {ex} $ är negativa. Därför är den ”vanliga” kraften positiv (avstötning) och växlingskraften är positiv för symmetriska koordinater s tate och negativt för antisymmetriskt koordinatläge (attraktion).
Så utbytesinteraktionen för fallet med två partiklar kan betraktas som ytterligare kraft beroende på centrifugering. För flera partiklar är detta mer komplicerat.
Kommentarer
- Hej, hur man förstår den effektiva kraften för växelinteraktion för Fermion är attraktiv? Mycket kontraintuitivt.