Jag letar efter en enkel förklaring av innebörden av att ha homotetiska / icke-metetiska preferenser i förhållande till konsumenternas ”preferenser när de konsumerar varor.
Kommentarer
- Inkomstkurvan är linjär om och endast om konsumenternas preferenser är homotiska.
Svar
Från en matematisk synvinkel, om funktionen $ f (x, y) $ är homogen (av vilken som helst grad) och $ g ( ) $ är en funktion vars första derivat är överallt icke-noll, då är funktionen
$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$
är homotetiskt. I ekonomin inför vi vanligtvis något mer restriktivt, nämligen att $ g ”> 0 $. Men detta gör en homotetisk funktion till en monoton transformation av en homogen funktion. Nu är homogena funktioner en strikt delmängd av homotetiska funktioner: inte alla homotiska funktioner är homogena.
Därför bevarar inte alla monotona transformationer homogenitetsegenskapen hos en verktygsfunktion . Det enklaste exemplet är Cobb-Douglas-verktyget. Det är homogent av grad 1. I en ordinarie användarram är vi ok med monotona transformationer, så vi kan överväga den naturliga logaritmen av den. Fint, men den naturliga logaritmen kommer inte att bevara homogenitet. Ändå kommer det att vara homotetiskt.
Den grundläggande egenskapen hos en homotetisk funktion är att dess expansionsväg är linjär (detta är också en egenskap hos homogena funktioner, och tack och lov visar det sig vara en egenskap hos den mer generella klassen av homotiska funktioner).
I konsumtionsteorin betyder detta att, om vi håller priserna eller prisförhållandet konstant, om vi varierar konsumentens inkomst, i $ (x, y) $ -planet tangenspunkten för inkomstbegränsningen med den högsta möjliga likgiltighetskurvan återspeglar alltid ett fast förhållande $ x / y $. Detta innebär i sin tur att utgifterna för varje vara växer i samma takt som inkomsterna, och så förblir utgiftsandelarna konstanta för hela inkomstintervallet (alltid för ett givet prisförhållande). Även om detta kanske låter begränsande, har det visat sig att homotiska preferenser inte medför några speciella begränsningar för aggregerad efterfrågan (huvudsakligen på grund av att utdelningsvektorn är godtycklig och oberoende av preferenser, som förstör eller frigör saker).
Kommentarer
- Bra svar. Kan du utöka din sista mening, där du nämner att homotiska preferenser inte medför någon speciell begränsning av AD. Med lite kunskap om ämnet verkar det som om jag antar att homotetiska preferenser strider mot empiriska bevis för Engels ' lag eller att inkomstelasticiteten i efterfrågan varierar mellan varorna. Genom att bortse från detta bevis skulle vi inte ' påverka någon rimlig konstruktion av AD?
- @StatsScared Tack. Du har lagt upp en fråga i frågan, economics.stackexchange.com/q/10629/61 , som redan har genererat intressanta svar. Om jag har något att lägga till kommer jag att lägga upp det där.