Feynman-Kac-satsen säger att för en Ito-process av formen $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ det finns en mätbar funktion $ g $ så att $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ med ett lämpligt gränsvillkor $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Vi vet också att $ g (t, x) $ har formen $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Detta innebär att jag kan prissätta ett alternativ med utdelningsfunktionen $ h (x) $ till $ T $ genom att lösa differentialekvationen utan hänsyn till den stokastiska processen.
Finns det en intuitiv förklaring till hur det är möjligt att modellera Ito-processens stokastiska beteende med en differentialekvation, även om differentialekvationen inte har en stokastisk komponent?
Kommentarer
- Inuti förväntningarna ska ’ inte placera $ h (X_T) $ istället för $ h (X_t) $ ?
Svar
Martingales + Markovian
Här är motivationen. Villkorliga förväntningar är martingaler av tornets egendom med villkorade förväntningar (en lätt övning att visa). Antag att $ r = 0 $, med den riskneutrala prissättningen $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ är priset på alla derivat säkerhet med $ X $ som underliggande tillgång och utdelningsfunktion $ h $ förutsatt för tillfället att den underliggande säkerheten och derivatet i sig inte betalar några mellanliggande kassaflöden. I en Markovian-inställning måste det vara så att derivatpriset är en mätbar funktion av det aktuella tillgångspriset och endast tiden till förfall, säg en funktion $ g (t, x) $. Sedan, av Itos lemma $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Eftersom $ g $ är en (förskjuten) martingale, måste driftterminen vara lika med noll . gränsvillkor kommer från ingen arbitrage, se detta genom att märka vad som är $ g (T, x) $ från definitionen som ges först (kom ihåg mätbarhet när du tar villkorlig förväntan).
Kommentarer
- Tack. Vad är $ \ mathscr {F} _t $?
- Det är en sigma-algebra från en filtrering. sv.wikipedia.org/wiki/Filtration_(matematics)
- @ user25064 – det komplimangerar mitt svar ganska bra +1
- @Raphael – tänk bara på $ \ mathscr F_t $ som tillgänglig information fram till tid $ t $. Det vertikala fältet läser ” givet ” så att när du skriver den förväntningen före den tiden tar du ’ inte förväntningar alls och det kan komma utanför samma sätt som en konstant skulle göra. Som $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Det finns en relativt bra förklaring av villkorlig förväntan i den här boken.
Svar
Feynman-Kac-satsen är främst meningsfullt i ett prissättningssammanhang. Om du vet att någon funktion löser Feynman-Kac-ekvationen kan du representera dess lösning som en förväntan med avseende på processen. ( ge detta dokument )
Å andra sidan löser en prissättningsfunktion FK-PDE. Så ofta skulle man försöka lösa PDE för att få en formel för sluten formprissättning. ( ger detta dokument som börjar med sidan 22 )
Du skulle inte använda Feynman-Kac för att simulera en stokastisk process. Å andra sidan kan du använda en stokastisk process för att hitta en lösning på FK-PDE ( se här )
Redigera 26.02.2014: Jag hittade ett dokument som försöker förklara sambandet mellan övergångstätheten och FK-PD ( se här med början på sidan 5 )
Det finns också en koppling mellan FK-formeln och Sturm-Liouville-ekvationerna som kan användas för nedbrytningen av Brownian vägar. ( se denna uppsats )
Kommentarer
- Tack för länkarna! Ditt inlägg förklarar flera applikationer och användningsområden för Feynman-Kac-satsen. Mitt huvudsakliga intresse vid denna punkt är att förstå varför satsen är sant, dvs. intuitionen bakom satsen.
- Jag föreslår beviset här: sv. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Att läsa bevis hjälper ofta till att förstå hur en teorem uppstår. Eller är du intresserad av en förklaring ur Phyiscs synvinkel?
Svar
Så jag tänker på det är att PDE beskriver flödet av en tidsberoende sannolikhetsfördelning. Den stokastiska processen beskriver individuella förverkliganden (slumpmässiga promenader med en drift), men om du sprang ett stort antal av dem skulle du bygga upp en distribution.
PDE säger hur den fördelningen förändras i tid (första term) på grund av deterministisk drift (andra term) och diffusion (tredje term, som är länken mellan ”massor av slumpmässiga vandrare” och spridningen sannolikhetsfördelning som beskriver hur långt de har kommit i genomsnitt. Vanligtvis börjar sannolikhetsfördelningen som en delta-funktion på grund av det kända initialtillståndet.
Kommentarer
- Jag är lite förvirrad. Vi har PDE för prisfunktionen $ g (t, x) $ bortsett från drift och volatilitet finns det inte mycket information du kan hämta från FK-PDE med avseende på fördelningen
Svar
Låt oss närma oss detta svar i två steg.
Först, Jag tycker att det är ganska intuitivt att det för en given stokastisk PDE finns en deterministisk PDE som utvecklar densiteten till en senare tidpunkt. Denna ekvation är den främre Kolmogorov- eller Fokker-Plank-ekvationen. Varför är det intuitivt? Man känner också till den framtida fördelningen av en Brownian-rörelse (per definition), varför skulle denna förändring ske för en mer komplex stokastisk term?
För det andra, när du har fått framåtekvationen är det en matematisk fråga att härled en omvänd version av den. Detta är Feynman-Kac-ekvationen och den sprider en fördelning bakåt i tiden.