Kommentarer
- Tiden är oändlig – dvs. det fallande objektet ' s hastighet är aldrig exakt lika snabb som terminalhastigheten. Om du vill veta hur lång tid det tar att säga 99% av terminalhastigheten är det en bättre fråga!
- @alephzero: Tja, i ett mer realistiskt scenario där densiteten är högre nära mark kommer ett objekt som faller tillräckligt högt över så småningom sin " terminal " hastighet (tillfälligt relativ till den aktuella densiteten). Och då kommer dess hastighet att minska när luften blir tätare och objektet kommer faktiskt att nå marken med superterminal hastighet.
- Om ett objekt har olika drag (till exempel är en fallskärmshoppare eller inte en sfär och tumlar) kommer dess terminalhastighet att vara annorlunda beroende på dess orientering. I det här scenariot kan det överskrida dess terminalhastighet vid vissa tillfällen.
- @Ben: Även för en sfär kommer dragningen inte att vara konstant eftersom Cd vanligtvis varierar med Reynolds-talet, vilket kommer att minska kontinuerligt tills terminalen hastighet uppnås.
Svar
Ett fallande objekt når inte terminalhastigheten; den närmar sig terminalhastigheten asymptotiskt enligt formeln $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Här är $ m $ objektets massa, $ g $ är accelerationen på grund av tyngdkraften, $ \ rho $ är densiteten hos vätskan genom vilken objektet är faller, $ A $ är det projicerade området för objektet, och $ C_d $ är dragkoefficienten .
Så $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ är terminalhastigheten och $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ är tidsskalan på vilken terminalhastighet närmar sig enligt $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ Vid $ t = \ tau $ objektet har 76% av terminalhastigheten. Vid $ t = 2 \ tau $ har objektet 96% av terminalhastigheten. Vid $ t = 3 \ tau $ är den vid 99,5% av terminalhastigheten.
Kommentarer
- Observera att $ \ tanh x \ ca 1 – 2 e ^ {- 2x} $ för stora $ x $, så skillnaden mellan $ v $ och terminalhastigheten minskar ungefär exponentiellt med tiden. Detta kan vara en bra tumregel; om $ v $ är 1% under $ v_t $ någon gång och 0,5% under $ v_t $ 10 sekunder senare, så kommer $ v $ 0,25% under $ v_t $ 10 sekunder efter det.