Från flera onlinekällor läste jag att $$ E \ propto A ^ 2 $$ men när jag nämnde detta i klassen sa min lärare att jag hade fel och att det var direkt proportionellt mot amplituden istället.
Så vitt jag vet sa varje webbplats jag snubblat på angående detta att det är fallet. Min lärare har en doktorsexamen och verkar ganska erfaren, så jag förstår inte varför han skulle göra ett misstag. Finns det fall där $ E \ propto A $?
Jag såg också härledningen:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
lokaliserad här , har någon något emot att förklara det lite mer detaljerat? Jag har en grundläggande förståelse för vad en integral är men jag vet inte vad affischen i länk sa. Jag vet att det finns en ganska bra förklaring här , men det verkar alldeles för avancerat för mig (gav upp när jag såg partiella derivat, men jag ser att de ”är i grund och botten samma senare). Den första jag länkade verkar som något jag kunde förstå.
Kommentarer
- Du ställer rätt frågor och tänker på rätt sätt. Glöm doktorsexamen och be istället din lärare att förklara i detalj varför han tycker $ E \ propto A $. Galileo hade något att säga här: " … auktoriteten för tusen är inte värt en enskild persons ödmjuka resonemang " Energier i linjära system är kvadratiska funktioner för generaliserade koordinater, som i Kyle ' s svar .
Svar
Affischen från den länken säger att det arbete som gjorts av våren (det är ”s Hookes” lag där: $ F = -kx $) är lika med den potentiella energin (PE) vid maximal förskjutning, $ A $; denna PE kommer från den kinetiska energin (KE) och är lika med integralen i Hookes lag över intervallet 0 (minsta förskjutning) till $ A $ (maximal förskjutning).
Hur som helst, din professor har fel. Den totala energin i en våg kommer från summan av förändringarna i potentiell energi, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ och i kinetisk energi, $$ \ Delta K = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) v ^ 2 \ tag {KE} $$ där $ \ Delta m $ är massförändringen. anta att vågens densitet är enhetlig, då $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $ där $ \ mu $ är den linjära densiteten. Således är den totala energin $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ Som $ y = A \ sin \ vänster (kx- \ omega t \ höger) $ och $ v = A \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, då är energin proportionell mot amplituden: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
Kommentarer
- Detta är troligen lätt tillgängligt någonstans på wikipedia eller något, men kan jag fråga vart du går PE ekvation du listade?
- @ D.W .: Ledsen för det mycket sena svaret, du kan se det på denna Hyperfysikwebbplats . Du kan använda det faktum att $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ och förändringen i $ U $ skulle associeras med en massförändring i vågen, $ \ Delta m \ sim \ mu \ Delta x $ (med $ \ mu $ linjär densitet).