Jag jobbade bara med en speciell fråga men ignorerade effekten av temperatur på den och nu blir det väldigt viktigt för mig.
Vad är sambandet mellan tryck och temperatur?
Antag att vi har en ballong eller något som vi kan fylla den med luft {lufttryck är 1 a.m), om vi ökar temperaturen, vad händer med trycket? Finns det en formel för att mäta den?
För att besvara den frågan, tänk på ballongens elasticitet.
Kommentarer
- Har du hört talas om idealgaslag ?
- Observera också att trycket i dessa relationer är absolut tryck, inte mätare. Till exempel, om det absoluta trycket i en ballong i ditt hus är 1 atm, är inte ballongen uppblåst. Om manometertrycket är 1 atm, blir absolut 2 atm.
- naturligtvis hörde jag det, men är inte ’ det skiljer sig från gummi & elastik ????
- Jag tog inte ’ härledde jag detta formellt (och därmed kontrollerar ordentligt), varför jag skriv detta som en kommentar snarare än som ett svar. Young-Laplace ger $ p = 2 \ gamma / r $ (förutsatt att ballongen är tät) och den ideala lagen $ pV = NkT $. Tar $ \ gamma \ propto A $ och kombinerar ekvationerna har vi $ p \ propto T ^ {1/4} $.
- Jag kunde inte ’ t förstår, kan du berätta den verkliga formeln ???
Svar
Ett välkänt resultat från statistik mekanik är den ideala gaslagen,
\ begin {ekvation} PV = nRT \ slut {ekvation}
som finns i en mängd olika former. Här betecknar $ n $ mängden gas, $ R $ är en konstant, $ T $ är temperaturen, $ V $ volymen och $ P $ trycket.
Om du ökar temperaturen, antingen volymen, trycket eller båda måste öka proportionellt. Om ballongen inte kan expandera kan inte volymen öka; således ökar trycket (med $ \ frac {nR} {V} $ per grad). Om det finns en viss grad av elasticitet kan volymen öka något; dock inte följer den ideala gaslagen. Som astronom har jag inte arbetat mycket med elasticiteter, så en tillämpad fysiker kan antagligen hjälpa dig vidare.
Svar
En idealgas är en teoretisk gas som består av många slumpmässigt rörliga punktpartiklar som inte interagerar förutom när de kolliderar elastiskt. Allt beror på ditt fall. Jag menar att om trycket och temperaturen är låga kan du använda Idealgas-lag för att beräkna förhållandet mellan tryck och temperatur.
där:
är gasens tryck
är gasens volym
är mängden substans av gas (även känd som antal mol)
är den ideala eller universella gasen konstant, lika med produkten från Boltzmann-konstanten och Avogadro-konstanten.
är gasens temperatur
Och vi vet:
där:
är massa (gram)
är molmassa (gram per mol)
alltså,
Du bör kontrollera fallet du står inför och sedan bestämma dig för att använda detta eller inte använda det. men något riktigt viktigt är att idealgaslag inte svarar för elastiska fall.
Svar
Se till att du använder T i Kelvins och ha de andra enheterna kompatibla med varandra.
Du bör också slå upp ”tryckhöjd” och ”temperaturhöjd” och ”förfallshastighet” för att se om dessa gäller ditt problem.
När du ökar höjden minskar det begränsande atmosfärstrycket och temperaturen, så ballongen ökar i storlek jämfört med lägre höjder.
Svar
Snabb härledning
Young-Laplace-lagen säger att $$ p-p_0 = \ frac {2 \ gamma} {R} $$ medan tillståndsekvationen för den ideala gasen går som $$ p = \ frac {Nk_BT} {V} $$ Lösning för $ R $ och förutsatt att vi har att göra med en sfärisk ballong ($ V = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $, $ A = 4 \ pi R ^ 2 $) och att elasticiteten beskrivs av en Hookean-kraft (med jämvikt vid nollstorlek), $ \ gamma = \ alpha A $, $$ \ left (\ frac {Nk_BT} {\ frac {4} {3 } \ pi p} \ höger) ^ {1/3} = R = \ frac {p-p_0} {8 \ pi \ alpha} $$
För att göra algebra enklare antar jag att $ p_0 = 0 $, så att vi har $ p \ propto T ^ {1/4} $.
Något strängare härledning
För enkelhetens skull antar jag att trycket utanför är noll. Att lägga till tryck som inte är noll är dock trivialt, men gör ekvationerna lite fulare.
Antag att vi har en sfär fylld med $ N $ -molekyler av idealgas, så att delningsfunktionen kan skrivas som $$ \ mathcal {Z} = \ iint \ mathrm {d} ^ {3N} p \ \ mathrm {d} ^ {3N} r \ \ e ^ {- \ beta (\ mathcal {H} + \ gamma A)} $$
Så, vi sitter kvar med $$ \ mathcal {Z} = CV ^ N e ^ {- \ beta \ gamma A} $$
Nu minimerar du den fria energin med avseende på $ R $, $$ N \ frac {A} {V } = \ beta \ partial_R (\ gamma A) $$
Om vi tar gummit för att vara Hookean, $ \ gamma = \ alpha A $, har vi äntligen storleken på ballongen: $$ R = \ vänster (\ frac {3N} {64 \ pi ^ 2 \ alpha \ beta} \ höger) ^ {1/4} $$
Nu är det enkelt att beräkna trycket, $$ p = – \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {F}} {\ partial V} \ right) _A = \ frac {N \ frac {A} {V}} {\ beta A} = \ frac {N} {\ beta V} $$ Ingen överraskning här; detta är bara tillståndsekvationen för den ideala gasen. Genom att ansluta storleken ($ V \ leftarrow \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $) har vi $ p \ propto \ beta ^ {- 1/4} \ propto T ^ {1/4} $ .
Jag skrev också en enkel Monte Carlo-simulering (som lätt skulle kunna utvidgas till att täcka mer generella fall där gasen inte är idealisk, säg), och mina numeriska resultat överensstämmer med vad jag härledde ovan.
Svar
Temperatur och tryck är direkt proportionella mot varandra. Detta innebär att när temperaturen sjunker minskar trycket också, och när temperaturen ökar ökar trycket. Ett sätt att tänka på detta är om du ökar hastigheten på molekylerna – genom att öka deras temperatur – ökar kraften hos molekylerna som slår i behållaren och detta ökar trycket. Detta förhållande kallas Gay-Lussacs Law och utgör en del av den ideala gaslagen.