När man härleder magnetfältet på grund av en strömtråd, om vi väljer en cirkulär Amperian-loop kan vi ange:
$$ \ oint \ vec B \ \ cdot d \ vec s = \ mu_0 \ I $$
Men på grund av Amperian-slingans symmetri och det faktum att banan korsas moturs kan vi ange:
$$ \ oint B \ ds = \ mu_0 \ I $$
$$ B \ oint ds = \ mu_0 \ I $$
Det är dock inte uppenbart för mig att magnetfältet är parallellt med $ d \ vec s $ vid alla kontinuerliga summeringar. Om $ d \ vec s $ pekar oändligt längs Amperian-slingan vid varje steg, betyder det att magnetfältet vid varje punkt måste peka i exakt samma riktning.
Jag vet att magnetfältet runt en tråd spolar runt den, så att ha en cirkulär Amperian-slinga kan uppnå detta, men:
Säg att vi ritade en Amperian-loop med en godtycklig radie. Hur vet vi att detta kommer att stämma överens med en magnetfältslinga hos den nuvarande bärtråden så att $ d \ vec B $ och $ d \ vec S $ fortfarande kommer att vara parallella?
Kanske är det möjligt, men jag förstår kanske varför. Om det är varför ska jag illustrera varför med en (dåligt) ritad grafik som jag just skapat:
Där de röda cirklarna är linjer med konstant magnetfältstyrka och den svarta cirkeln är Amperian-slingan. När slingan passeras, med varje banelement $ d \ vec S $, beläget vid något värde $ \ theta $ runt slingan, kommer magnetfältvektorerna för alla magnetfältstyrkoringar att vara parallella med dem eftersom Amperian-slingan är en cirkel. Detta skulle förklara behovet av en Amperian-slinga som är inriktad på detta sätt för att träna.
Om så inte är fallet, vänligen klargöra vad som är. Om det är vettigt , några frågor:
-
Vad händer om vi inte använder en cirkulär Amperian-slinga? Skulle vi kunna hitta magnetfältet exakt? Det verkar konstigt om vi hade att välja rätt loopform
-
Hur vet jag att $ d \ vec B $ i min grafik inte är ” t kommer att vara anti-parallell till $ d \ vec S $ vid alla punkter, snarare än parallellt?
Svara
Vad som är coolt med Amperes lag är att det inte spelar någon roll vad formen på slingan är: den kommer att gälla även om du väljer en rolig form loop (eller om ditt magnetfält är mer komplicerat). Nu kan det göra integrationen omöjligt svår för dig att faktiskt göra, men det förändrar inte det faktum att den angivna lagen är korrekt för alla slingor du kan rita. Förenklingen du gjorde var möjlig eftersom du utnyttjade symmetrin i den specifika konfigurationen I de flesta realistiska situationer kan ingen sådan exakt korrekt förenkling göras. En approximation eller ett annat tillvägagångssätt kan krävas.
Om magnetfältet motsätter sig den mening som du korsar slingan, kommer integralen att ge ett negativt resultat. Detta indikerar att strömmen är negativ (strömmar i motsatt riktning).
Kommentarer
- Frågan här handlar om att återställa den magnetiska fält, vilket du inte kan göra med en rolig loop där strömmen inte är konstant.
Svar
För en oändlig tråd vet vi att magnetfältet är perifert överallt. Ett annat sätt att se på detta är att se det som r otational symmetri om trådens omkrets. Från detta vet vi att fältet bara ändras med förändrat avstånd från ledningen och oss oberoende av vinkelpositionen runt slingan.
På grund av detta är det bekvämt att välja en cirkulär Amperian-slinga eftersom fältet är konstant vid varje punkt så att vi kan dra B utanför integralen på LHS.
Nu är Ampers lag alltid sant oavsett vilken slinga du väljer. Men om fältet varierar runt slingan måste vi faktiskt utvärdera linjens integral vilket innebär att vi inte lätt kan använda den som ett verktyg för att hitta B.
Liksom Gauss-lag är det ett mycket kraftfullt verktyg men bara användbart för att hitta fältet enkelt om vi har någon form av symmetri.