Förväntat värde på gammadistribution

Förutsatt att du rör slumpmässig variabel för gammafördelning med form $ \ alpha > 0 $ och betygsätter $ \ beta > 0 $ parametrar, det vill säga $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, kan du hitta $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ på följande sätt:

För alla slumpmässiga variabler X för kontinuerlig distribution (som Gamma) för vilka $ f $ anger dess sannolikhetsdensitetsfunktion (i ditt exempel $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alfa)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) och för vilken funktion som helst $ g $ för denna variabel (i ditt fall $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), det innehåller: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

I ditt exempel förenklar det väldigt mycket (var uppmärksam på $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ Fraktionen beror inte på $ x $ så att den kan placeras utanför en integral.

För diskret distribution är den förresten mycket lik: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~ ~ \ text {där} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {betecknar stöd för X (uppsättning värden det kan ta)} $$

---

Jag kommer inte hålla dig i spänning längre. Först och främst, kom ihåg att $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Låt $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Kombinera dessa två resultat i en enkel observation: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Efter varandra: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Genom att använda detta två gånger får du resultatet :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ I slutändan (som $ f _ {\ alpha-2} (x) $ är också PDF vilken integral är lika med $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Denna lösning ovan gäller just detta fall, men som whuber påpekade , det mer allmänna fallet för alla verkliga och positiva $ p \ i \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ det innehåller: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Kommentarer

• @TJ Phu Låt oss veta med vad du verkligen har problem, kanske med att beräkna denna integral? Hur som helst, låt oss veta. Försök dock följa gung och silverfisk kommentarer och förbättra den övergripande layouten för frågan.
• @TJ Phu Kanske min allra första kommentar om att göra råa integration var lite vilseledande. Låt mig veta om du helt förstår min lösning (helt enkelt genom att acceptera / kryssa för mitt eller svåra svar).

Jag skulle göra det på det lata sättet: genom att börja med en definition och titta hårt på vad som följer, för att se om någon redan har visat mig svaret. I det följande behövs inga beräkningar alls, och endast de allra enklaste reglerna (för exponenter och integraler) krävs för att följa algebra.

---

Låt oss börja med gammafördelningen.Välj en måttenhet för $ X $ där $ \ beta = 1 $ , så att vi kan säg att $ X $ har en $ \ Gamma (\ alpha) $ distribution. Detta betyder att densiteten endast är positiv för positiva värden, där sannolikhetsdensitetselementet ges av

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Om du är nyfiken, uttrycket $ dx / x $ förklaras vid https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Om du inte gillar det, byt ut $ x ^ \ alpha dx / x $ med $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Kom ihåg att normaliseringskonstanten är där för att göra integralen av $ f_ \ alpha (x) dx $ enhet, varifrån vi kan dra slutsatsen att

$$ \ begin {align} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {align} \ tag {1} $$

Det spelar ingen roll vilket nummer $ \ Gamma (\ alpha) $ är faktiskt. Det räcker att se att det är väldefinierat och ändligt tillhandahållet $ \ alpha \ gt 0 $ och annars skiljer sig från varandra.

Låt oss nu vända oss till reglerna för förväntan. ” lagen från den omedvetna statistikern ” säger förväntan på någon funktion av $ X $ , till exempel $ X ^ p $ för lite kraft $ p $ (som vanligtvis är positivt men kan vara negativt och till och med komplex), erhålls genom att integrera den funktionen av $ x $ mot densiteten:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

---

Det är dags att stirra. Ignorera integralen är integranden ett tillräckligt enkelt uttryck. Låt oss skriva om det med hjälp av algebra och flytta i processen det konstanta värdet på $ 1 / \ Gamma (\ alpha) $ ur integralen:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Det borde se väldigt bekant ut: det ” s precis som en annan funktion för Gamma-distributionstäthet, men med kraften $ p + \ alpha $ istället för $ \ alpha $ . Ekvation $ (1) $ säger oss omedelbart , utan ytterligare tanke eller beräkning, att

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Att ansluta detta till höger om $ (2) $ ger

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Det ser ut som om vi hade bättre (den verkliga delen av) $ p + \ alpha \ gt 0 $ för att detta ska konvergera, som tidigare nämnts.

---

Som dubbelkontroll kan vi använda vår formel för att beräkna de första ögonblicken och jämföra dem med, säg, vad Wikipedia säger . För medelvärdet får vi

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

och för det andra (råa) ögonblicket,

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

Följaktligen är variansen $$ E \ left (X ^ 2 \ right) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Dessa resultat överensstämmer helt med myndigheten. Det finns inga konvergensproblem eftersom $ \ alpha \ gt 0 $ , båda $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ och $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

---

Du kan nu säkert ansluta till $ p = -2 $ och dra dina slutsatser om den ursprungliga frågan. Kom ihåg att kontrollera villkoren för svaret.Och glöm inte att ändra enheterna för $ X $ tillbaka till de ursprungliga: det multiplicerar ditt svar med $ \ beta ^ p $ (eller $ \ beta ^ {- p} $ , beroende på vad du tycker $ \ beta $ är en skala eller en ränta ).