Förvirring angående beräkning av grundperiod?

De trigonometriska funktionerna är i huvudsak exponentiella. Således motsvarar en fördubbling av argumentet en kvadrering av funktionen (på sätt och vis). I det här fallet kan det ses genom att tillämpa vinkeltilläggsformeln:

$$ \ begin {align} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {align} $$

Making

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Tillämpa den på din ekvation:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Från detta är det ganska tydligt att den grundläggande perioden är 0,25 eftersom det gör $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

På begäran:

$$ \ begin {aligned x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ höger) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ höger) \\ & = \ frac {1} {4} \ vänster [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ höger] \\ \ slut {justerad} $$

Du borde kunna räkna ut därifrån. Observera att det kvadrerade fallet kunde ha hanterats på samma sätt.

Jag använder den här tekniken i stor utsträckning för dessa formler:

• Exakt nära ögonblickliga frekvensformler bäst vid toppar (del 1)
• Exakt nära ögonblickliga frekvensformler bäst vid toppar (del 2)
• Exakt nära ögonblickliga frekvensformler bäst vid nollkorsningar

Kommentarer

• Vänligen vänligen uppdatera 2: a sista raden i ditt svar. Det är en grundperiod som är 0,25 inte grundläggande frekvens
• @Man Klar, bra fångst. Ledsen för det.
• Vänligen gör lite uppdatering av ditt svar för att möta behovet av uppdaterad fråga
• @Man Sluta flytta målstolparna. n = 3,4,5 … kan beräknas enligt mönstret. slutresultatet är $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ vilket är samma som $ T = 1 / (2n) $

Detta verkar som ett mer semantiskt problem.

En signal är periodisk med tiden $ T $ om

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ i \ mathbb {Z} $$

Så signalen är periodisk i $ 0,5 $ eftersom för $ T = 0.5 \ cdot n $ är argumentet för cosinus en heltalsmultipel av $ 2 \ pi $ . Eftersom det är periodiskt i $ 0,5 $ är det också periodiskt i alla helmultiplar av $ 0,5 $ , dvs. $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ etc.

I det här fallet är det också periodiskt i $ 0,25 $ eftersom $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Så varje periodisk signal har en oändligt antal perioder, den grundläggande är den minsta och alla andra är heltalsmultiplar av grundläggande.

Om det hjälper något, generera en enhetsamplitud sinusvåg vid 1 Hz och dess kvadrat:

Då ser sinusvågen och dess kvadrat ut så här:

Du kan se likströmskomponenten: medelvärdet för den kvadrerade sinusvågen (medelvärde över ett heltal perioder) är 1/2. Och den röda sinusvågfrekvensen är exakt dubbelt så att perioden halveras. DC och dubblerad frekvens är ”beatfrekvenser” som erhålls genom att multiplicera sinusvågen med sig själv.

Kommentarer

• vilken programvara använder du?
• Jag använder ett kommersiellt simuleringsprogram som heter Extend (äldre version) och ExtendSim (nyare versioner), från Imagine That, Inc. Dessa kompletteras med fyra bibliotek med block som jag började utveckla 1990. Mina bibliotek, som heter LightStone, är tillgängliga gratis, med fullständig kommenterad källkod. Webbadressen för mina bibliotek är umass.box.com/v/LightStone . Jag kommer att uppdatera biblioteken i slutet av veckan så att de fungerar med den senaste ExtendSim 10.0.6-versionen (ska bara vara en kompilering). Modellen ovan gjordes med Extend 6.0.8 på en gammal Mac (jag gillar det som det ser ut).
• Tack, jag ' Jag kommer att kolla in det: )