Här ”är en sannolikhetsfråga (förmodligen riktigt enkel) Jag är inte säker på hur jag ska lösa:
Gamma distribution $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ med $ \ mu = 20 $ och $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Den föregående frågan var att hitta värdena $ \ alpha $ och $ \ beta $, vilket jag gjorde med $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ och $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alfa $$ \ beta ^ 2 $.
För gammadistributionscdf säger min lärobok $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ där $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ är standard gammafördelning cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
För att integrera det ser det ut som att jag måste använda kedjeregeln, men vår professor gjorde det aldrig ett exempel. Finns det en genvägsmetod? Vi har aldrig använt integration i ett riktigt exempel, bara för att definiera pdf och få cdf för olika distributioner.
Redigera
Exemplen i min lärobok som involverar vanliga problem med gammadistribution säger att man ska slå upp värdena för $ F (x; \ alpha) $ i tabell A.4 i bilagan. När jag tittade saknade tabell A.4, vilket verkligen besviker mig. Finns det någon standard gammadistributionstabeller online som jag kan skriva ut och lämna in med uppgiften? Jag kollade Wolfram Alpha men de hade inte en. Casio har något , men jag är inte säker på vad form och skalparametrar är.
Redigera 2
Hittade den tabellen. Fram i boken kom tabell A.5 strax efter A.3, varför jag trodde att A.4 saknades. Jag gick till biblioteket för att se om de hade samma lärobok, de hade det, och någon hade sunt förnuft (som jag inte hade) att titta på baksidan av boken, och där var det. Ingen ytterligare hjälp behövs.
Kommentarer
- Du måste integrera med delar upprepade gånger börjar med $ u = y ^ {\ alpha-1} $ och $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $, och $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Varje gång du gör det får du en integral med en mindre exponent för $ y $. Om $ \ alpha $ är ett heltal kan du avsluta processen. Om $ \ alpha $ inte är ett heltal är sakerna mer komplicerade.
- @dilip bör du lägga upp din kommentar som svar.
- @DilipSarwate, det finns ingen sluten formulärlösning för $ \ alpha $ icke-heltal, den här cdf är då ofullständig gammafunktion .
- Och jag tvivlar starkt på att integrationen delvis var målet av övningen.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF [GammaDistribution [5%2C+4 ]%2C+24 ]
Svar
Som föreslås av probabilityislogic konverteras min kommentar till ett svar.
Du måste integrera med delar upprepade gånger som börjar med $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, och med $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Eftersom $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, varje gång du gör en integration efter delar, får en integral med en mindre e xponent för $ y $ på höger sida. Om $ \ alpha $ är ett heltal (som det är i detta speciella fall) kommer du att kunna avsluta processen med ett $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Om $ \ alpha $ inte är ett heltal är sakerna mer komplicerade eftersom det inte finns något allmänt uttryck i sluten form för $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ där $ 0 < \ gamma < 1 $. Som noteras av Xi ”an, är cdf den ofullständiga gammafunktionen, och dess numeriska värden har tabellerats.
Om integrering av delar är inte poängen med denna övning som föreslagits i Elvis kommentar kanske du vill kontrollera om din professor vill att du ska tänka på värdet på en gammagods-variabel som en ankomsttid i en Poisson-slumpmässig process och lösa problemet ur den synvinkeln. Kommentarer
- Finns det en onlinetabell för olika värden på x och alfa? Min lärobok har bara tabeller för vanliga normalkurvor och t-distributioner. Jag försökte leta efter en men hittade för många Chi-kvadrattabeller istället
- Jag vet inte ' om en onlinetabell, men MATLAB beräknar värden åt dig , och jag antar att R eller Mathematica eller Wolfram Alpha eller Maple eller … etc skulle göra detsamma.