Frog Riddle – Conditional Probabilities (Svenska)

Låt oss titta på paret av grodor. Manliga grodor identifieras genom att skaka i videon.

Som förklaras i videon, innan vi hör någon skakning, finns det fyra lika troliga resultat som ges två grodor:

• Groda 1 är hane, groda 2 är hane
• Groda 1 är hona, groda 2 är hane
• groda 1 är hane, groda 2 är Kvinna
• Groda 1 är kvinna, groda 2 är kvinna

Att göra antaganden om män och kvinnor som förekommer lika och oberoende är vårt provutrymme $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, och vi har sannolikheten $ 1/4 $ för varje element.

Nu när vi hör skakningen kommer från detta par, vi vet att minst en groda är hane. Således är händelsen $ (F, F) $ omöjlig. Vi har sedan ett nytt, minskat provutrymme inducerat av detta tillstånd: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Varje återstående möjlighet är fortfarande lika sannolik, och sannolikheten alla händelser som läggs till måste vara $ 1 $. Så sannolikheten för var och en av dessa tre händelser i det nya samplingsutrymmet måste vara $ 1/3 $.

Den enda händelsen som slutar dåligt för oss är $ (M, M) $, så det finns $ 2 / 3 $ chans att överleva.

---

Mer formellt säger definitionen av villkorlig sannolikhet:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Så om $ A $ är händelsen att minst en kvinna är närvarande och $ B $ är den händelse att minst en man är närvarande, har vi: \ begin {align} P (\ text {F ges minst 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F och minst 1 hane})} {P (\ text {vid minst 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M och 1 F})} {P (\ text {1 M eller 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Detta är egentligen samma procedur som vi resonerade igenom som ovan.

Kommentarer

• Hej mb7744, tack för det snabba svaret. Jag förstår svaret som anges, men det ser ut som att jag räknar dubbelt och det är därför jag ’ kämpar för att acceptera svaret. (M, F) = (F, M), och om inte, varför?
• (M, F) och (F, M) är inte samma händelse. Om en groda heter Alex och den andra grodan heter Taylor, kan Alex vara kvinnan och Taylor hanen ELLER vice versa. Alex och Taylor skulle förmodligen inte hålla med om att denna skillnad är meningslös. Nu kan du se de två händelserna som likvärdiga.Då är dina tre resultat (M, M), (F, F) och (M, F) inte lika troliga. Den blandade parningen är dubbelt så sannolik. Det är av samma anledning att det är mycket mer sannolikt att du kastar en 7 på ett par tärningar än en 2, även om du ser alla de olika sätten att rulla 7 som likvärdiga.
• Hej, jag tror detta hjälper till att klargöra var jag ’ inte ’ får ’ gåtan. Om jag får upprepa problemet när jag ’ ser det, byt ut grodan med ett myntkast (eller en tärning). Om du måste vända två mynt och utesluta vissa kombinationer skulle jag helt acceptera svaret. I gåten ’ s analogi läser jag dock detta eftersom vi bara får ett myntkast. Den andra har redan gjorts och kan inte ändra resultatet av den andra. Att inte veta vilket av de två resultaten som redan har fastställts tillåter oss inte ’ att vända två mynt och välja vilka resultat som ska inkluderas eller uteslutas. Så med hjälp av tärningsrullanalogin …..
• … får du kasta två tärningar, men okänt för dig en tärning ’ resultatet har redan varit bestämt. Du har bara 1/6 chans att göra valfritt nummer 7-12. Har jag fel här?
• Om vi tittar på alla par med lika sannolika resultat vid tärning, är ordning viktig . Tänk dig att en dör är blå och den andra är röd, och vi skriver våra resultat med den blå dör först och den röda dör sist. Då är resultatet (1,2) inte samma som resultatet (2,1). Och som tidigare kommer sannolikheten att rulla en ” 1 och en 2, oavsett ordning ” dubbelt så mycket som, säg , rullar ett par två. För din sista fråga antar jag att du menade att säga att en död ’ resultatet bestämdes till 6 . I så fall har du rätt.

Eftersom matematiken redan är lagd försöker jag ge lite intuition. Frågan är att veta att minst en groda är manlig skiljer sig från att veta att någon särskild groda är man. Det förra fallet ger mindre information och detta ökar våra chanser i förhållande till den senare situationen .

Ring grodorna åt vänster och höger och antag att vi får höra att den högra grodan är hane. Sedan har vi tagit bort två möjliga händelser från provutrymmet: händelsen där båda grodor är kvinnliga och händelsen där den vänstra grodan är manlig och den högra grodan är kvinnlig. Nu är sannolikheten verkligen hälften och det spelar ingen roll vilken vi väljer. Exakt samma argument är sant om vi lär oss att den vänstra grodan är hane.

Men om vi bara får höra att åtminstone en groda är hane, vilket är vad som händer när vi hör skakningen, så kan vi inte eliminera händelsen att den vänstra grodan är manlig och den högra grodan är kvinna. Vi kan bara eliminera händelsen att båda är kvinnor, vilket gör att händelsen att minst en är kvinnlig är mer sannolikt än den tidigare inställningen.

Jag tror att anledningen till att detta är förvirrande är att vi naturligtvis tycker att vi lär oss att åtminstone en är man bör göra oss ovilliga att välja grodpar. Det är sant att denna information gör det mindre troligt att åtminstone en är kvinna, men inser också att det fanns en full tre fjärdedelars chans att åtminstone en kvinna innan vi lärde oss någonting alls. Det är tvetydigheten för den information vi får vilket gör det så att vi fortfarande bör föredra de två grodorna framför den ena.

Kommentarer

• Tack dsaxton, intuitivt valde jag de två grodorna, men mitt resonemang berättade för mig att antingen valet var lika troligt.
• Tack dsaxton, jag misstänker att det ’ s formuleringen av den gåta som kastar mig. Som påträffas skiljer sig inte de två grodorna (utan ytterligare information), så jag ser inte skillnaden mellan (M, F), (F, M) som meningsfull i detta Jag är inte övertygad om att mitt resonemang är felaktigt, men jag ber om ursäkt om jag bara är lite långsam.
• Tack igen dsaxton. Som nämnts ovan ’ har hittat den mentala hängningen jag hade och kan se nu varför svaret är rätt svar (och frågan jag faktiskt försökte svara). Tack igen för din hjälp, att se svaret är bara inte detsamma som att ha hjälp att verkligen förstå det.

Din intuition är korrekt i det här fallet. Som problemet anges är dina odds för överlevnad 50%. Videon anger felaktig problemutrymme baserat på den information vi har och kommer därför till en felaktig slutsats. Rätt problemutrymme innehåller åtta villkor och är som följer.

Vi har två grodor i en stock, och en av dem har skakat vad är våra möjligheter?(M betecknar hane, F betecknar hona och c betecknar skakad, första position är vänster, andra position är höger)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Varje fall är lika troligt baserat på information som vi har, när vi eliminerar villkoren med tanke på att en groda har skakat. Vi finner att det finns fyra resultat att förvänta oss. Vänster manlig groda skakade bredvid en höger groda som var tyst. Höger manlig groda skakade bredvid en vänster groda som var tyst. Eller så fanns en gnagande groda i paret med en enda groda i båda riktningarna. För ett intuitivt sätt att förstå detta är de två grodorna manligt dubbelt så benägna att skaka än den enda manliga grodan ihop med en kvinna, så vi måste väga den på lämpligt sätt.

Du kan också dela sökområdet genom att skaka groda (C) och icke gnälla groda (N). Eftersom den skakande grodan är 100% en hane kan du eliminera den från din sökning eftersom den inte har någon chans att hjälpa dig att överleva. Medan författaren avsåg att skapa ett ”monty hall problem” skapade de av misstag en ”pojke eller flicka paradox”.

Följande frågor ger olika resultat:

Med tanke på att det finns en manlig är sannolikheten att den andra är kvinnlig?

Med tanke på att en manlig groda skakade vad är sannolikheten att den andra är kvinnlig?

Jag vet mer information i det andra fallet

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Ett tydligare svar på detta, eftersom det föregående var för långt och inte lätt att förstå.

De möjliga resultaten är olika, även om jag använde samma bokstäver. För att klargöra provutrymmet kommer jag att beskriva de möjliga resultaten

MM -> ”The hane är till vänster ”-” En slumpmässig hane till höger ”

MF -> ”Hanen är till vänster” – ”En slumpmässig kvinna till höger”

MM – -> ”Hanen är till höger” – ”En slumpmässig hane till vänster”

MF -> ”Hanen är till höger” – ”En slumpmässig kvinna till vänster”

Kommentarer

• Du räknar dubbelt MM fall. Du kan ’ inte bara räkna upp alla möjliga scenarier utan att ta hänsyn till om du ’ kommer fram till samma scenario via olika vägar.

Problemet jag har med detta problem är att lösningen verkar använda olika regler för vad det betraktar ett möjligt resultat för de två grodorna som är manliga och kvinnliga och manliga och manliga.

F / M-paret och M / F-paret är olika eftersom vi inte vet om det första grodan eller den andra grodan är hane, så F / M och M / F är två separata möjligheter, även om resultatet fortfarande uppgår till ”en kvinnlig groda, en manlig groda”.

Men M / M par betraktas bara som ett möjligt resultat, även om samma logik bör gälla: vi vet inte vilken groda som är den som gjorde det skakande ljudet, så antingen grodan kunde vara den vi hörde, och den andra kunde fortfarande vara manlig , det hände bara inte att skaka.

Kommer ts

• Detta ligger mer i en kommentars natur än ett svar på ” gåtan. ” Ändra det till en kommentar och radera detta ” svar. ”
• @DJohnson Detta är faktiskt ett svar på gåten, även om det senare svaret från tomciopp förklarar det tydligare.

Inte veta någonting: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Tre par med minst en kvinna av fyra möjliga kombinationer: $ 3/4 $ eller $ 75 \% $

Att känna till den första är hane: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Ett par med minst en kvinna av två möjliga kombinationer: $ 1/2 $ eller $ 50 \% $

Att veta att det finns minst en hane: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Två par med minst en kvinna av tre möjliga kombinationer: $ 2/3 $ eller $ 67 \% $

Innan vi hör någon skakning finns det 4 lika troliga resultat med två grodor:

Groda 1 är hane, groda 2 är hane

Groda 1 är hona, groda 2 är hane

Groda 1 är hane, groda 2 är hona

groda 1 är kvinna, groda 2 är kvinna

Att göra antaganden om män och kvinnor som förekommer lika och oberoende är vårt provutrymme {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, och vi har sannolikheten 1/4 för varje element.

När vi väl hör skakningen kommer från detta par, vet vi att minst en groda är hane. Denna hane kan lika sannolikt vara groda 1 eller groda 2. Så det finns 2 lika troliga resultat för grodan 1:

Groda 1 är hane

Groda 1 är slumpmässig groda

Att göra antaganden om män och kvinnor som förekommer lika och oberoende är att Random Frog lika sannolikt är en slumpmässig man eller en slumpmässig kvinna.

P (Groda 1 är slumpmässig man med groda 1 är Slumpmässig groda) = P (groda 1 är slumpmässig kvinna som ges groda 1 är slumpmässig groda) = 1/2

P (groda 1 är slumpmässig man och groda 1 är slumpmässig groda) = P (groda 1 är slumpmässig Groda) P (Groda 1 är slumpmässig man med groda 1 är slumpmässig groda) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Groda 1 är Slumpmässig hona och groda 1 är slumpmässig groda) = P (groda 1 är slumpmässig groda) P (groda 1 är slumpmässig kvinna som ges groda 1 är slumpmässig groda) = (1/2) (1/2) = 1/4

Så det finns tre möjliga resultat för grodan 1:

Groda 1 är hane

Groda 1 är slumpmässig hane

Groda 1 är slumpmässig hona

och sannolikheten är:

P (groda 1 är hane) = 1/2

P (groda 1 är slumpmässig hane ) = 1/4

P (groda 1 är slumpmässig kvinna) = 1/4

Nu, för varje möjligt resultat för groda 1, finns det två möjliga resultat för grodan 2:

groda 2 är man

Groda 2 är slumpmässig groda

För varje möjligt resultat för groda 1 är det lika troligt att slumpmässig groda är en slumpmässig man eller en slumpmässig kvinna.

Så för varje möjligt resultat för groda 1 finns det tre möjliga resultat för grodan 2:

Groda 2 är manlig

Groda 2 är slumpmässig manlig

Frog 2 är slumpmässig hona

P (Frog 2 får hane Frog 1 är hane) = 0

P (Frog 2 får hane Frog 1 är slumpmässig hane) = 1

P (groda 2 ges hane groda 1 är slumpmässig hona) = 1

P (groda 2 är slumpmässig hane som ges groda 1 är hane) = 1/2

P (groda 2 är slumpmässig hane Frog 1 är slumpmässig hane) = 0

P (groda 2 är slumpmässig hane som ges groda 1 är slumpmässig hona) = 0

P (Groda 2 är slumpmässig kvinna som ges groda 1 är man) = 1/2

P (Groda 2 är slumpmässig kvinna som ges groda 1 är slumpmässig man) = 0

P (groda 2 är slumpmässig kvinna ges groda 1 är slumpmässig Fe hane) = 0

P (Groda 2 är slumpmässig hane och groda 1 är hane) = P (groda 1 är hane) P (groda 2 är slumpmässig hane som ges groda 1 är hane) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Groda 2 är slumpmässig kvinna och groda 1 är hane) = P (groda 1 är hane) P ( Groda 2 är slumpmässig kvinna med groda 1 är hane) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (groda 2 är hane och groda 1 är slumpmässig hane) = P (groda 1 är slumpmässig hane) * P (groda 2 får hane groda 1 är slumpmässig hane) = (1/4) * 1 = 1/4

P (groda 2 är hane och groda 1 är slumpmässig hona) = P (groda 1 är slumpmässig hona) * P (groda 2 får hane groda 1 är slumpmässig hona) = (1/4) * 1 = 1/4

Så, vår provutrymmet är {(Man, Random Male), (Man, Random Female), (Random Male, Male), (Random Female, Male)}, och vi har sannolikhet 1/4 för varje element.

P (F ges minst 1 M) = P (F och minst 1 hane) / P (minst 1 M) = P (1 M och 1 F) / P (1 M eller 2 M) = P [( Man, slumpmässig kvinna), (slumpmässig kvinna, man)] / P [(man, slumpmässig man), (man, slumpmässig kvinna), (slumpmässig man, man), (slumpmässig kvinna, man)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Kommentarer

• Kopierade du och klistrade in från mitt svar och tog bort formateringen?
• Tja, först och främst, kopiera och klistra in en del av någon annan ’ s svar utan att ens nämna det är oacceptabelt. Bortsett från det, om du tror att du har nått ett annat resultat, finns det ett mer kortfattat sätt för dig att förklara det? Du har skrivit en hel del avkopplade ekvationer utan någon förklaring.
• Det ’ är inte litteratur men det är fortfarande oförskämt. Nu när det gäller ditt svar kontra mitt: Jag tycker att det är meningslöst. Vad är meningen med resultatet ” Groda 2 är slumpmässig groda ”?
• Ditt svar var det enda beräkning av villkorliga sannolikheter. Att använda samma termer kan hjälpa till att jämföra och se vilken del som är densamma och vilken som är annorlunda. Jag kan säga att jag tycker att andra svar är meningslösa också, men jag sa inte det eftersom det skulle vara oförskämt;). Om du inte förstår sth, kan du skicka be om förtydliganden. ” Groda 2 är slumpmässig groda ” betyder att det inte är den manliga grodan som är känd för att vara i paret ….
• Det finns två slumpmässiga källor, en kommer från den manliga grodan som man vet är i paret, den andra kommer från grodpopulationen. Eftersom vi vet att den manliga grodan är där, handlar osäkerheten om positionen. Är det groda 1 eller groda 2? Eller är det till vänster eller till höger? Mitt råd är att använda träddiagram för att skapa provutrymme från grunden och använda all tillgänglig information.