Jag brydde mig med motivationen bakom att definiera en fyra-hastighet. I Schutz s En första kurs i Allmän relativitet , han använder konceptet med en tangentvektor vid varje punkt i en världslinje av en partikel som ges av $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Och senare säger han att
\ begin {ekvation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ slut {ekvation}
Den matematiska förklaringen jag hittade för att använda rätt tid som parameter som alla observatörer är överens om, men jag kan inte inse vilka problem vi får med istället för denna definition använder vi relationen
\ begin {ekvation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ slut {ekvation}
där $ t $ är tidsmåttet i någon tröghetsram S.
Kommentarer
- Jag tror inte ' att du ' skulle ställa denna fråga i euklidiskt utrymme. Tänk på en kurva $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Då kan man skriva tangentvektorerna som $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. ELLER vi kan följa ditt senare förslag och använda $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Tangentvektorn kommer fortfarande att peka på rätt väg men ingen longe r är snyggt definierat och definitionen låter dig inte längre rotera på ett sätt som blandar koordinaterna upp eftersom det utpekar $ x $.
- Förklarar inte boken någonstans att fyrhastigheten är definierad på det sättet så att det är en Lorentz fyrvektor?
- @ jacob1729 kan du ge mig några exempel? Jag ' är ganska förvirrad med det här ämnet
Svar
@Milan svarade redan på de tekniska problemen i din definition.
Jag vill påpeka konceptuella problem. Vi skulle vilja att 4-hastigheten på något sätt karakteriserar ett objekts rörelse genom rymdtiden. Begreppsmässigt är det vettigt att kräva att sådan kvantitet endast beror på de kvantiteter som har direkt relation till den rörelsen. Att ta med en slumpmässig observatörs tid som inte har något att göra med objektets rörelse skulle vara begreppsmässigt konstigt beslut. Det är vettigt att definiera 4-hastighet som en tangentvektor till objektens värld, eftersom denna matematiska enhet är direkt kopplad till det och därmed också med objektrörelse. Naturligtvis behöver vi en viss parametrisering av världslinjen, vilket skulle vara idealiskt naturligt för världslinjen / rörelsen själv och inte är beroende av några externa mängder. Eftersom i rymdtiden har varje objekt sina egna klockor, denna kurva parametreras naturligtvis av klockan för själva objektet, det vill säga – av dess rätta tid.
Observera att på detta sätt behöver du inte alls prata om Lorentz-gruppen. När jag först lärde mig om 4-hastighet kändes beslutet att använda rätt tid i derivatet för mig som ett slumpmässigt beslut bara för att göra lite Lorentz 4-vektor. Men det har faktiskt djupare geometriska skäl, som jag försökte förklara.
Kommentarer
- Kan du rekommendera någon relativitetsbok som förklarar dessa ämnen som du förklarade?
- @Lil ' Gravitation egentligen inte, men jag kan ge dig tre böcker som sticker ut för mig personligen. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitation förklarar allmän relativitet och differentiell geometri på mycket intuitiv nivå – tillsammans med fysiska motiv för större delen av matematiken, och Wald – General Relativitet är en bra bok för mer formell, geometrisk metod för att se tydligt hur begreppen definieras abstrakt utan behov av koordinatsystem. Sedan finns det Fecko – Differentialgeometri och Lie-grupper för fysiker, som jag anser är den bästa läroboken om differentiell geometri.
Svar
Den första definitionen omvandlas som en fyrvektor: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
Den andra definitionen förvandlas inte riktigt som en fyrvektor: $ \ dfrac {dx ^ {”\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt ”} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Detta är vettigt, eftersom du i den första definitionen delar upp differentierna för en fyrvektor (som i sig också omvandlas som en fyr -vektor) av en skalär (invariant under Lorentz-gruppen).