Är det möjligt att använda Gauss elektromagnetism, (nätets elektriska flöde genom en sluten yta är lika med $ 1⁄ \ epsilon $ gånger den elektriska nettoladdningen som är innesluten inom den ytan.) för att beräkna gravitationsfältet vid punkten genom att göra vissa ändringar, dvs genom att ersätta det elektriska flödet med gravitationsflödet, $ 1⁄ \ epsilon $ med $ 1 / (4 \ pi \, G) $, och ladda med massa?
Kommentarer
- Se t.ex. Wikipedia .
Svar
Ja, du kan använda Gauss lag för gravitation.
$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$
eller
$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$
där $ \ vec {g} $ är gravitationsfältet (motsvarande acceleration på grund av tyngdkraften) är $ \ rho $ massdensitet och $ M_ \ mathrm {enc} $ är den totala massan som omges av den Gaussiska ytan.
När du gör jämförelsen n till Gauss lag för elektriska fält kan du se hur konstanterna fungerar som de gör:
$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$
så $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.
En vanlig användning för Gauss lag för tyngdkraften är att bestämma gravitationens fältstyrka på ett givet djup inuti jorden. Det liknar mycket beräkningen för det elektriska fältet inuti en laddad, isolerande sfär.
Kommentarer
- I mitt ursprungliga inlägg förstörde jag konstanterna … fixat
- Faktiskt den nära matchningen mellan fältflödet i Einstein ' s behandling till Newton ' s för ett sfäriskt symmetriskt svagt fält kan visas med detta Gauss ' Lagstrategi.
Svar
Gauss Law for Gravity säger i princip att det totala gravitationsflödet som härrör från en sfär som omsluter jorden är $ 4 \ pi GM $ .
Dela nu detta med sfärens totala yta $ 4 \ pi R ^ 2 $ med $ R $ Jordens radie.
Resultatet är $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ som ger gravitationsflödet densitet. Om du beräknar det numeriska resultatet får du $ 9,81 \ mathrm {m / s ^ 2} $ .