Gravitationell slanghot max

Man kan få en storleksuppskattning av maximal hastighet som kan uppnås genom gravitationsslingskott utan att göra någon verklig beräkning.

Resonemanget ”grov fysik” går som följer:

Gravitationsfältet för planeterna som används för slangskott måste vara tillräckligt starkt för att ”fånga” det snabba rymdskeppet. Eftersom en planet inte kan ”ta tag i” rymdskepp som rör sig snabbare än planetens flyghastighet är det omöjligt att skjuta ett rymdskepp till hastigheter över planetens flykthastigheter.

Så oavsett hur ofta vår sol systemplaneter står i linje och oavsett hur ofta du lyckas ta av dig en perfekt gravitationsslang, är du praktiskt taget begränsad till hastigheter som inte överstiger ungefär den maximala rymdhastigheten i solsystemet (dvs. 80 km / s eller 0,027% av ljusets hastighet , Jupiters flyghastighet).

(Obs: genom att arbeta med väldefinierade banor kan man förfina argumentet ovan och få alla de numeriska faktorerna korrekta.)

Kommentarer

• Jag måste vara oense med dig. Om du skulle stöta på en himmelkropp från rätt vinkel skulle du fortfarande kunna få sin omloppshastighet en gång när du skulle ha en excentricitet på 1.4142, vilket betyder att den överstiger flyghastigheten. Eller hänvisar du till hyperbolisk överskottshastighet som är lika med flyghastigheten (vilket skulle betyda en excentricitet på 3), men detta skulle ändå möjliggöra en förstärkning på cirka 40% av omloppshastigheten. Det minskar, men jag tror att det fortfarande är viktigt.
• @fibonatic – Diskuterar du om faktorer $ 1,4 $ i en uppskattning av storleksordningen?
• 1,4 är inte en storleksordning lägre antingen.

Ju snabbare du går, desto mindre hastighet kan du teoretiskt få från en tyngdkraftsassistent.

Anledningen till detta är att ju snabbare du går desto svårare är det att böja banan. För att bevisa detta måste vi använda lappade koniska approximationer, vilket betyder att när vi befinner oss i en sfär Kepler kretsar kan användas. Sfären kan förenklas för att vara oändligt stor, eftersom böjningen av den faktiska lappade konen knappast kommer att påverkas av detta. Medan excentriciteten är låg (lika eller större än en, eftersom den måste vara en flyktbana) kommer banan att kunna böjas 360 ° och effektivt reversera rymdfarkostens relativa hastighet med himmelkroppen, så förändringen i hastigheten skulle vara dubbelt så hög som den relativa hastigheten, vilket också är den teoretiska maximala förstärkningen. När excentriciteten ökar minskar denna vinkel. Denna vinkel kan härledas från följande ekvation:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

där $ r $ är avståndet från rymdfarkosten till himmelkroppens masscentrum, $ a $ är den semi-huvudaxeln, $ e $ är excentriciteten och $ \ theta $ är den sanna avvikelsen.Halvhuvudaxeln och excentriciteten bör förbli konstant under banan, så radien skulle bara vara en funktion av den verkliga anomalin som per definition är lika med noll vid periapsis och därför kommer den maximala böjningsgraden att vara ungefär dubbelt så stor som den sanna anomalin vid $ r = \ infty $, vilket betyder

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

När excentriciteten blir riktigt hög blir denna vinkel 180 °, vilket innebär att banan i grunden är en rak linje.

Det finns flera sätt att ändra excentriciteten. I det här fallet skulle de relevanta variablerna vara:

• hyperbolisk överskridningshastighet , $ v_ \ infty $, vilket kommer att vara lika till den relativa hastigheten vid vilken rymdfarkosten ”möter” himmelkroppen, med detta menar jag att himmelkropparnas sfär är väldigt liten jämfört med skalans kroppsbanor runt solen, så att den relativa hastigheten kan vara approximerad med skillnaden i omloppshastighet i förhållande till solen, approximerad med en Kepler-bana vid ett möte mellan de två när man använder en bana som ignorerar interaktionen mellan dem.
• Höjden på periapsis , $ r_p $, som i grunden är begränsad av himmelkroppens radie (yta eller yttre atmosfär).
• gravitationsparameter för himmelkroppen, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

Gravitationsparametern är bara en given för som speciell himmelkropp, eftersom en lägre excentricitet är önskvärd, bör därför periapsis ställas in på dess nedre gräns, himmelkroppens radie. På detta sätt är excentriciteten bara en funktion av hyperbolisk överskotthastighet och därmed rymdskeppets relativa hastighet med himmelkroppen.

Med lite mer matematik kan det visas vilken förändring i hastighet som skulle bli efter en sådan nära tyngdkraftsassistent. För detta använder jag ett koordinatsystem med en enhetsvektor parallell med riktningen för den relativa möteshastigheten, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $, och en vinkelrät enhetsvektor, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ höger) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

När du planerar dessa värden för jorden, så $ \ mu = 3.986004 \ gånger 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ och $ r_p = 6.381 \ gånger 10 ^ { 6} m $ (jag använde ekvatorialradien plus höjden vid vilken atmosfärisk effekt kan försummas, 300 km), du skulle få följande resultat:

Om du vill t så hög hastighet som möjligt, då vill du att denna hastighetsförändring skulle vara i riktning mot din hastighet runt solen. Om du har tillräckligt med tid och banan är tillräckligt excentrisk för att den korsar flera banor av himmelskroppar så finns det många möjligheter, men så snart du har en flyktbana från solen passerar du i grunden varje himmelsk kropp högst en till tid.

Om du bara vill få en hög som möjligt hastighet kanske du vill komma närmare solen i en mycket excentrisk bana, eftersom dess ”yta” utrymningshastighet är $ 617,7 \ frac {km} {s} $.

Kommentarer

• Hej fibonat, tack för svaret . Jag har uppdaterad fråga med ytterligare data, eftersom jag förstår att du bara behöver planetens radie, vikt och initialhastighet för att göra beräkningen, om du behöver mer data så låt mig veta att jag får det åt dig.
• Så max gravitationsspring vi kan få skulle vara 0,002 ljusets hastighet google.co.uk/… vilket skulle ta oss 2000 år för att komma till Alpha Centauri google.co.uk/… Tack för bra svar.
• @MatasVaitkevicius Nej, eftersom du vid 0,002 c nära solens yta skulle ha en hastighet på noll oändligt långt från solen, eller när du passerar Neptuns bana skulle du ha bromsats ner till 7,7 km / s.

Ni tänker alla för hårt på detta. Slangböjningseffekten handlar om referensram. I förhållande till kroppen du närmar dig måste ingångshastighetsökningen vara lika med utgångshastighetsminskningen eller så bryter du mot enkla fysiklagar (dvs. gravitation). Ur perspektivet solsystem kommer du att ha en nettovinst i hastighet om du närmar dig en planet från rätt riktning, annars kommer du att få en nettohastighetsminskning efter att du lämnat.Den teoretiska maximala hastighetsökningen vid utgången är därför en funktion av hastigheten hos värdkroppen (slangbotten) i referensramen och inflygningsvektorn.