Gravitationsacceleration på månen och på Mars

Låt ” s se hur accelerationen på grund av tyngdkraften erhålls för vilken planet som helst, och sedan kan vi tillämpa detta på jorden eller månen eller vad vi än vill.

Newtons gravitationslag säger att storleken på gravitationskraft mellan till objekt med massorna $ m_1 $ och $ m_2 $ ges av \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} där $ r $ är avståndet mellan deras masscentra. Antag nu att objekt 1 är en planet med massa $ m_1 = M $ och radie $ R $, och objekt 2 är ett mycket mindre massaobjekt $ m_2 = m $ beläget på en höjd $ h $ ovanför planetens yta det är litet jämfört med planetens radie. Gravitationskraftens storlek mellan de två objekten kommer att \ börja {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} å andra sidan, säger Newtons andra lag oss att accelerationen av objekt 2 kommer att tillfredsställa \ begin {align} F = ma \ end {align} Genom att kombinera dessa fakta, nämligen att ställa in höger sida lika, får massan $ m $ att falla ur ekvationerna och accelerationen på grund av massföremålets tyngdkraft blir $ m $ \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ vänster (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} där jag i andra jämlikhet har utfört en Taylor-utvidgning av svaret i termer av det lilla antalet $ h / R $. Observera att till noll ordningen, nämligen det dominerande bidraget när objekt 2 är nära planetens yta, är en konstant som är oberoende av höjden och beror bara på planetens massa och radie; \ börja {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Detta är precis vad vi vanligtvis kallar acceleration på grund av tyngdkraften nära planetens yta. Om du kopplar in siffrorna för Earth får du \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ ca 9.8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} och jag ” Jag låter dig bestämma antalet för andra planeter. Den viktiga egenskapen för denna acceleration på grund av tyngdkraften är att den skalas linjärt med massan $ M $ på planeten, och den skalas som den negativa andra effekten av radien på planet.

Kommentarer

• Jag tror att det också är användbart att nämna effekterna av centrifugalkraft på grund av en himmellegems vinkelhastighet. $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ En annan effekt av detta är att kroppen själv bultar runt ekvatorn och ökar ytans radie nära ekvatorn (sänks nära polerna).

Den gravitationsaccelerationskonstant som definieras som $ g $ för jorden beror på jordens massa och avståndet från den. Formeln är $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Se Newtons L aw av Universal Gravitation för mer information). Så $ g $ är inte konstant även på jorden utan beror på din höjd, om än ganska långsamt. Om du befinner dig i månen är massan av månen $ (~ 10 ^ {22} kg) $ mindre än den för jorden $ (~ 10 ^ {24} kg) $ och därmed den gravitationskraft du skulle känna, $ mg $ skulle vara mycket mindre på grund av att $ g $ var mindre, cirka $ 1,62 m / s ^ 2 $.

Dessutom är enheterna på $ g $ $ m / s ^ 2 $ och inte $ N / s ^ 2 $

Ett enkelt sätt att tänka på detta är att tänka på att tyngdaccelereringen vid ytan av, till exempel en planetkropp, i huvudsak beror på två mängder: kroppens massa och radien .

Ytacceleration ökar med kroppens massa (om du fördubblar massan fördubblar du accelerationen) och minskar med kvadraten på radien (om du fördubblar radien, är accelerationen kvartalsvis).

Så till exempel är Månens radie cirka 0,273 gånger Jordens radie men Månens massa är cirka 0,0123 Jordens massa. Så vi förväntar oss att accelerationen vid Månens yta är

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

och, nog, månens ytvikt är cirka $ 1,62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Så om du känner till massan och radie på, säg, Mars, du kan bestämma ytan på Mars på följande sätt:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $