Hamilton ' s princip (Svenska)

Anteckningarna från vecka 1 i John Baez kurs i Lagrangian mekanik ger viss inblick i motivationen för handlingsprinciper.

Tanken är att minst handling kan betraktas som en förlängning av principen om virtuellt arbete. När ett objekt är i jämvikt krävs det inget arbete för att göra en godtycklig liten förskjutning på det, dvs. e. punktprodukten av en liten förskjutningsvektor och kraften är noll (i detta fall eftersom själva kraften är noll).

När ett objekt accelererar, om vi lägger till en ”tröghetskraft” lika med $ \, – ma \, $ , då skulle en liten, godtycklig, tidsberoende förskjutning från objekten sanna banan återigen ha nollpunktprodukt med $ \, F-ma, \, $ den sanna kraften och tröghetskraften som läggs till. Detta ger

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

From där leder några beräkningar som finns i anteckningarna till den stationära handlingsintegralen.

Baez diskuterar D ”Alembert mer än Hamilton, men hur som helst är det en intressant titt på idéens ursprung.

Kommentarer

• Observera att principen för virtuellt arbete heter D ’ Alembert-princip: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Som du kan se från bilden nedan vill du att variationen i åtgärdsintegralen ska vara minst, därför måste $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ vara $ 0 $. Annars tar du inte den riktiga sökvägen mellan $ q_ {t_ {1}} $ och $ q_ {t_ {2}} $ utan en något längre väg. Men även efter $ \ delta S = 0 $ kan du, som du vet, få en annan extremum.

Efter länken från jc hittar du På en allmän metod för dynamik , som antagligen svarar på din fråga angående Hamiltons resonemang. Jag har inte läst det men nästan säkert är det värt.

Kommentarer

• Detta verkar som ett tautologiskt svar eftersom det är just Hamilton ’ s princip som används för att komma fram till ovanstående bild i första hand.
• Kanske lärde du dig Hamilton ’ s princip och kom fram till det bilden som en förklaring, men bilden är helt allmän. Den beskriver variationen av en funktion med fasta slutpunkter.

Jag berättar i allmänhet historien om att handlingsprincipen är ett annat sätt att få samma differensekvationer – så på mekaniknivå är de två likvärdiga. Men när det gäller kvantfältsteori är beskrivningen i termer av vägintegraler över den exponentierade åtgärden viktig när man överväger instanton-effekter. Så småningom finner man att formuleringen i termer av handlingar är mer grundläggande och mer fysiskt sund.

Men ändå har människor inte en ”känsla” för handling på det sätt de känner för energi.

Låt oss komma ihåg att rörelseekvationerna med initial villkor $ q (0), (dq / dt) (0) $ avancerades först och den lägsta handlingsprincipen formulerades senare, som en sekvens. Även om den var vacker och elegant matematiskt Minsta handlingsprincip använder något framtida ”gräns” -villkor $ q (t_2) $, vilket är okänt fysiskt. Det finns inte minst handlingsprincip som endast fungerar med de ursprungliga villkoren.

Dessutom antyds det att ekvationer har fysiska lösningar. Detta är så i klassisk mekanik men är fel i klassisk elektrodynamik. Så även härledd från formellt korrekt ”princip”, kan ekvationerna vara fel på fysikalisk och matematisk nivå. respekt, att formulera rätt fysiska ekvationer är en mer grundläggande uppgift för fysiker än att förlita sig på någon ”princip” att erhålla ekvationer ”automatiskt”. Det är vi fysiker som är ansvariga för att korrekt formulera ekvationer.

I CED, QED och QFT måste man ”reparera på gång” fel lösningar bara för att fysiken gissades och ursprungligen implementerades felaktigt.

PS Jag skulle vilja visa hur systemet i själva verket ”väljer” sin bana: om partikeln vid $ t = 0 $ har momentum $ p (t) $, så vid nästa gång $ t + dt $ har den momentum $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Denna tillväxt är ganska lokal i tiden, den bestäms av nuvarande kraftvärde $ F (t) $ så att inget framtida ”gräns” -villkor kan bestämma det. Banan är inte ”vald” från virtuella banor; det ”ritas” av de direkta värdena för kraft, koordinat och hastighet.

Kommentarer

• Jag tycker att båda alternativen bara är matematiska modeller och så ingen är mer verklig. Varken systemet väljer sin bana eller framtiden bestämmer den minsta handlingsvägen. QM: s icke-lokalisering leder till liknande tvivel.
• Otroligt nog finns det nu en minsta handlingsprincip som endast fungerar med de ursprungliga villkoren! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Här är en gratis arXiv-version . Utan att läsa artikeln i detalj luktar den som en klassisk Keldysh-formalism , jfr. detta och detta Phys.SE-inlägg.

Istället för att ange utgångsläget och momentum precis som vi har gjort i Newtons formalism, låt oss omformulera vår fråga så här:

Om vi väljer att ange de initiala och slutliga positionerna: $ \ textbf {Vilken väg tar partikeln?} $

Låt” Vi hävdar att vi kan återhämta Newtons formalism genom följande formalism, så kallad Lagrangian formalism eller Hamiltonian-princip. p>

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ höger) $$

där denna integrand är skillnaden mellan den kinetiska energin och den potentiella energin.

$ \ textbf {Hamiltons princip hävdar} $: Den verkliga vägen som partikeln tar är en extremum av S.

$ \ textbf {Proof:} $

1.Ändra sökvägen något:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2. Håll slutpunkterna för den färdiga vägen :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Utför åtgärdens variation $ S $:

äntligen får du

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Villkoret att sökvägen vi började med är en extrem del av åtgärden är

$$ \ delta S = 0 $$

som ska innehålla för alla ändringar $ \ delta \ vec {r} (t) $ som vi gör på sökvägen. Det enda sättet detta kan hända är om uttrycket i $ [\ cdots] $ är noll.Detta betyder

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Nu känner vi igen detta som $ \ textbf {Newtons ekvationer} $. Att kräva att åtgärden är extremiserad motsvarar att kräva att banan följer Newtons ekvationer.

För mer information kan du läsa denna pdf-föreläsning.

Hoppas det hjälper.

Kommentarer

• Om vi ser att en partikel är begränsad att röra sig på en sfär, kommer vi till banor en är ett maximum eller ett minimum. Jag känner att en partikel följer den minsta handlingsvägen, men den matematiska ekvationen δS = 0 ger oss ett tvetydigt svar, men en viss del av det här svaret innehåller en väg med minst handling i den. Du kan se Arfken och Weber.