Jag vill gå igenom härledningen av frekvensrepresentationen för ett impulståg.
Definitionen av impulstågfunktionen med perioden $ T $ och frekvensrepresentationen med samplingsfrekvensen $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ som jag vill härleda är:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Användning av den exponentiella Fourier-serierepresentationen av impulsfunktionen och applicering av Fourier-transformen därifrån resulterar i:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
För att komma därifrån till slutresultatet verkar det som om integrationen skulle måste vara över en period av $ 2 \ pi $. Där $ \ Omega = -k \ Omega_s $, exponenten skulle vara $ e ^ 0 $ och integreras till $ 2 \ pi $ och för andra värden på $ \ Omega $, skulle det finnas en full sinusvåg som skulle integreras till noll. Gränserna för integration är dock negativ oändlighet till positiv oändlighet. Kan någon förklara detta? Tack!
Svar
Du tänkte korrekt att de förekommande integralerna inte konvergerar i konventionell mening. Det enklaste (och definitivt icke-rigoröst) sätt att se resultatet är genom att notera Fourier-transformförhållandet
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Genom att flytta / moduleringsegenskap vi har
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Så varje term $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ i Fourier-serien förvandlas till $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, och resultatet följer.
Kommentarer
- Det här är perfekt och mycket enklare än jag gjorde det. Tack så mycket !!!
- Det andra svaret var också korrekt. Jag bytte till det accepterade.
Svar
@MattL föreslog ett trevligt, enkelt sätt att se ovanstående resultat.
Men om du vill se resultatet i de normala analysekvationerna du nämnde, du kan göra som nedan.
Säg S (t) är ett periodiskt tåg av impulser. Så S (t) kan skrivas som
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Om du nu tar Fourier-serien av S (t) kan du skriva S (t) som
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Där $ C_n $ är exponentiella Fourier-seriekoefficienter och $ w_o $ är grundläggande frekvens.
Så från exponentiell fourier-serie vet vi att
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Ersätt nu värdet på S (t) i det ovanstående uttrycket från det första uttrycket.
Så $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nu måste du göra en observation, om du observerar integralen är den från -T / 2 till + T / 2. Under denna integrerade period, observera att endast en enda impuls $ \ delta (t) $ existerar. Alla andra impulsfunktioner i summeringen sker efter T / 2 eller före -T / 2. Således kan ovanstående ekvation för $ C_n $ skrivas som
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Från siktningsegenskapen kan vi skriva ovan som
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Lägg nu detta värde på $ C_n $ i den första S (t) ekvationen
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Hitta nu fyrartransformationen av ovanstående ekvation
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Så fouriertransformationen är $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Detta borde hjälpa.