I Heisenberg-bilden (med naturliga mått): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Om Hamiltonian är oberoende av tiden kan vi ta ett partiellt derivat av båda sidor med avseende på tiden: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Därför $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$ men det motsvarar inte vad många läroböcker listar som Heisenbergs rörelseekvation. Istället anger de att $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Varför är detta i allmänhet sant och inte det tidigare uttalandet? Är jag bara pedantisk med min användning av partiella och totalderivat?
Kommentarer
- Varför använde du delvis derivat? I Heisenberg-formalismen är statskedjorna fasta i tid och operatörerna varierar i tid. Så du kan ta operatörens totala tidsderivat på LHS.
- Tyvärr kan jag ' inte förstå din logik där. Här får $ O_s $ variera med tiden och det gör $ O_H $, men det är mycket tydligt att på LHS finns en total tid derivat på $ O_H $, och det finns en partiell tid derivat som visas på RHS. Varför är inte ' t båda delderivaten i tid?
- @ I.E.P. I ekv. (2), På vänster sida, varför är det inte ' t it $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, På vänster sida ska du använda $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, och det totala derivatet kan uttryckas som summan av partiella derivat.
- @IEP Jag tror här, vad du saknar är den matematiska skillnaden mellan totalderivat och partiella derivat. Till vänster $ O_H $ som funktion av $ t $, därav det totala derivatet, till höger, $ O_H $ som en sammansatt funktion via relationen (1), därav partiell derivat för varje komponentfunktion.
Svar
Med vissa definitioner för att göra tidsberoende tydliga kan din ekvation (4) göras. Låt oss ta följande:
Låt $ O_s $ vara en operatör beroende på tid och andra parametrar $ O_s: \ mathbb {R} \ gånger S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, där $ S $ är utrymmet för de andra parametrarna och $ \ mathrm {Op} $ är utrymmet för operatörer på Hilbert-utrymmet. Låt $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ betecknar tidsutveckling av operatörer i Heisenberg-bilden, ges av $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Observera att $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ och $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (eftersom $ \ phi $ är linjär i $ O $). Nu ges en parameter $ p \ i S $ vi kan definiera tidens funktion: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ med $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Vår funktion $ O_H $ är en enparameter en, så det är vettigt att ta dess totala derivat: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p ) \ höger] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ slut {align}
där jag i första steget har tillämpat kedjeregeln och i de andra, de likheter vi redan hade.
Svar
Nej, du är inte ”bara” pedantisk med ditt missbruk av partiella derivat: dina Eqns (2) och (3) är flata fel. Du tillämpade helt enkelt inte definitionerna rätt, som @WeinEld har påpekat. (Du kanske har sparat dig själv om du illustrerade din fråga till ett enkelt system, till exempel SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ så för $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ där $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ och likaså för p .
Tidsderivat av $ O_H $ består av partiell derivat wrt t efter semikolon, plus konvektiva derivat på grund av flödet av x och p i Heisenberg-bilden, $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ partial O_H} {\ partial p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Bevisa detta! Såvida du inte gjorde det är diskussionen helt ånga.)
Delderivatet är $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} = e ^ {iHt} \ frac {\ partial O_S} {\ partial t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ partial O_S} {\ partial t} \ right) _H. $$ (Vissa uttrycker detta som $ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} $, och litar på att läsaren korrekt förstår den tydliga differentieringen av endast argumentet efter semikolonet, men just denna fråga kan göra dem tänka två gånger . Nu, för att vara säker, eftersom $ O_S $ har försvinnande konvektiva derivat, $ dO_S / dt = \ partial O_S / \ partial t $, som tagits upp i en kommentar, så det här är en sak.)
Hur som helst, om du sätter ihop de två delarna förenas konventionellt $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. $$
Övervaka det uppenbara beteendet hos en enkel observerbar såsom $ O_S = tx $ i SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, den berömda styva klassisk-liknande rotation i fasutrymme, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; alltså $ O_H = tx (t) $. Därför $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: uppskattar nu effektiviteten och skillnaderna i respektive bilder. (Såsom $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ med fysikerna ”vanligt undvikande av matematikern” s ad kartnotation.)
Du kanske hittar dina lager av tänker på S-bilden som Eulerian-ramen, och H-bilden som den Lagrangian, comoving-ramen.