Hitta h [n] med hjälp av DTFT-egenskaper

Medan det här är genom dina antagningsläxor (och ganska grundläggande), jag kommer att bita. Minns definitionen av DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Och minns definitionen av frekvenssvaret $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

där $ x [n ] $ är ingången till systemet och $ y [n] $ är dess utdata. Kombinera dessa två ekvationer:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Utför nu den inversa DTFT på båda sidor av ekvationen. Per definition är $ X (\ omega) $ och $ x [n] $ ett transformpar; likaså för $ Y (\ omega) $ och $ y [n] $. För de andra två termerna, kom ihåg tidsförskjutningsegenskap för DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

som enkelt kan visas från definitionen av DFT. Med den här egenskapen omvandlas ekvationsekvationen till skillnadsekvationen för systemet:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Detta är definitionen av ett rekursivt filter som är vanligtvis IIR; så är fallet för den här. Att hitta impulssvaret är enkelt; låt $ x [n] = \ delta [n] $ och upptäck att systemutmatningen är:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Ovan anges för $ a = 0,99 $. Det bör noteras att systemet endast är stabilt för $ | a | \ le1 $.

Kommentarer

• I ' har försökt beräkna impulssvaret men trasslat. Kan du visa hur det ' går? tack.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Eftersom impulssvaret sträcker sig till $ \ infty $ är detta ett IIR-filter. JasonR säger i sitt svar att filtret är stabilt bara om $ | a | < 1 $. Faktum är att filtret är stabilt när $ | a | \ leq 1 $, och är instabil endast för $ | a | > 1 $. Men när $ | a | = 1 $, från den geometriska serieformeln $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, får vi den $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ är överföringsfunktionen för ett (stabilt) FIR filter som kan beskrivas som en kortvarig integrator eller kortvarigt medelvärde (med vinst $ 4 $).

Kommentarer

• Trevlig alternativ härledning. Jag fixade också mitt krav på stabilitet i mitt svar.