Jag har problem med Ho-Lee-modellen för korta priser och att skilja mellan hur man hittar värdena för den fria parametern λ kontra att använda modell för att förutsäga framtida priser.
Ho-Lee-modellen för varje steg i ett binomialt träd: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Jag har läst det för att ställa in den fria parametern vid varje steg i ett rekombinerande binomialt träd, ställer du in hastigheten vid tillstånd 0 till den aktuella spotfrekvensen (dvs: 1 månads spotfrekvens) och hittar ett värde för lambda som när den är ansluten till modellen kommer att resultera i nuvarande spotfrekvens för nästa tidssteg (t.ex.: med 1 månadsspotfrekvens vid tillstånd 0 och med användning av ett tidssteg på 1 månad kommer det korrekta värdet för lambda när den är ansluten till modellen att ge den aktuella 2-månaders spotfrekvensen etc).
Detta förvirrar mig. När jag väl har bestämt värdet på lambda för varje steg i mitt träd, vilka ingångar ändrar jag för att använda modellen med min papperskorg omialträd för att förutsäga terminsräntor .. dvs: en månadsränta på en månad, på två månader etc?
Om min beskrivning inte är klar, här är en undantag från Bruce Tuckmans bok om ämne.
… hitta λ1 så att modellen ger en tvåmånaders spotränta som är lika med den på marknaden. Hitta sedan λ2 så att modellen producerar en spotränta på tre månader som är lika med den på marknaden. Fortsätt på detta sätt tills trädet slutar.
Svar
Du vet att Ho-Lee-modellen representeras av de stokastiska differentialekvationerna \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} För att implementera vårt binomiala träd använder vi Euler-diskretiseringen. \ börja {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} där $ Z $ är en normal normal slumpmässig variabel. Låt $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ och expandera ekvationen i diskret tid \ börja {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Denna relation visar att den korta hastigheten är summan av en uppsättning icke-stokastiska drifttermer och en uppsättning slumpmässiga termer . No-arbitrage nollkupongobligationspriset $ P (t, t + \ Delta t) $ kommer alltså att anges som
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ höger) \ höger] \ end {align} Till exempel beräkning av obligationspriset vid tiden $ n = 2 $, ger oss: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] slut {align} med andra ord \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ höger) \ end {align} I det här fallet, $ r_t $ har en normalfördelning, alltså \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} But \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Det kan skrivas om som: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} then \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Denna relaton ger de nödvändiga rekursiva relationerna för att utveckla Ho-Lee ingen arbitrage-modell av korta räntor. Vi tar en uppsättning av obligationspriser och struktur för volatiliteter som en input för de korta räntorna. Därför får vi den evolutionära ekvationen för att skildra modellens binomiala träd.
Kommentarer
- Tack för ditt svar, även om det ' över min förståelse. Enkelt uttryckt förstår jag poängen med modellen är att modellera framtida priser. Jag ' har läst att vi ställer in de fria parametrarna vid varje steg i trädet så att modellen spottar ut aktuella spothastigheter. Om det är så vi vet att modellen är kalibrerad, vilka ingångar skulle jag ändra så att jag kan använda den för att modellera framtida priser?