Om PDF-filen Standard Normal är $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
och CDF är $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
hur blir det till en felfunktion på $ z $?
Kommentarer
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Jag såg detta, men det börjar med ERF redan definierat.
- Nåväl, det finns ' en definition av erf och en definition av Normal CDF .. Relationerna, härledda av vissa rutinberäkningar, visas till hur man konverterar mellan dem och hur man konverterar mellan deras inverser.
- Tyvärr, jag ser inte ' många detaljer. Till exempel är CDF från -Inf till x. Så hur går ERF från 0 till x?
- Känner du till kalkyltekniken för förändring av variabel? Om inte, lär dig hur du gör det.
Svar
Eftersom detta kommer ofta upp i vissa system (för exempel, Mathematica insisterar på att uttrycka Normal CDF i termer av $ \ text {Erf} $), det är bra att ha en tråd som den här som dokumenterar förhållandet.
Enligt -definitionen är felfunktionen
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Skrivning $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ innebär $ t = z / \ sqrt {2} $ (eftersom $ t $ inte är negativt), varifrån $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Slutpunkterna $ t = 0 $ och $ t = x $ blir $ z = 0 $ och $ z = x \ sqrt {2} $. För att konvertera den resulterande integralen till något som ser ut som en kumulativ fördelningsfunktion (CDF) måste den uttryckas i termer av integraler som har nedre gränser för $ – \ infty $, alltså:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Dessa integraler på högerstorleken är båda värdena för CDF för den normala normalfördelningen,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Specifikt,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Detta visar hur du uttrycker felfunktionen i termer av Normal CDF. Algebraisk manipulation av det ger lätt CDF i termer av felfunktionen:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Detta förhållande (för verkliga siffror, hur som helst) visas i diagram över de två funktionerna. Diagrammen är identiska kurvor. Koordinaterna för felfunktionen till vänster omvandlas till koordinaterna för $ \ Phi $ till höger genom att multiplicera $ x $ koordinaterna med $ \ sqrt {2} $, lägga till $ 1 $ till $ y $ koordinaterna och sedan dela $ y $ koordinaterna med $ 2 $, vilket återspeglar förhållandet
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
där notationen uttryckligen visar dessa tre operationer av multiplikation, addition och division.
Kommentarer
- Jag tror $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ är rätt sätt att relatera dem med tanke på medelvärdet och standardavvikelsen.