Jag vill lära mig hur man beräknar det förväntade värdet för en kontinuerlig slumpmässig variabel. Det verkar som att det förväntade värdet är $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$ där $ f (x) $ är sannolikhetsdensitetsfunktionen på $ X $.
Antag att sannolikhetsdensitetsfunktionen för $ X $ är $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$ vilket är densiteten för den normala normalfördelningen.
Så jag skulle först koppla in PDF-filen och få $$ E [X] = \ int_ { – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ vilken är en ganska rörig ekvation. Den konstanta $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ kan flyttas utanför integralen, vilket ger $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Jag fastnar här. Hur beräknar jag integral? Gör jag det här korrekt så långt? Är det enklaste sättet att få det förväntade värdet?
Kommentarer
- din frågetitel är missvisande. Du försöker faktiskt beräkna det förväntade värdet på en standard normal slumpmässig variabel. Du kan också beräkna det förväntade värdet för en RV-funktion. Jag skulle hellre lägga in titeln: ” Hur man beräknar det förväntade värdet på en normal normalfördelning. ” Eller ” Hur man beräknar det förväntade värdet för en kontinuerlig slumpmässig variabel. ”
- @Gu ð mundurEinarsson korrigerade.
- ” Jag fastnar här. Hur beräknar jag integral? ” Hitta derivatet av $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $. (Nej, jag är inte ansiktsfull och föreslår onödigt upptagen arbete för dig; jag är dödligt allvarlig; gör det bara!). Stirra sedan väldigt hårt på det derivat du har hittat.
Svar
Du är nästan där, följ din sista steg:
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mitt _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Eller så kan du direkt använda det faktum att $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ är en udda funktion och integralens gränser är symmetri.
Kommentarer
- Symmetriargumentet fungerar bara om båda halvorna själva är konvergerande.
- Kan du förklara vad som händer på andra raden?
- Glen ’ s kommentar är korrekt om den inte är konvergent då ändras inte variabler
- Den andra raden är lika med den första raden eftersom $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ noterar också det negativa tecknet i början. Då kan du tänka på förändring av variabel för integration, sedan ändra du tillbaka eftersom gränserna inte ändrades. Eller så kan du använda integrera efter delar. Och kom ihåg $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- För att använda symmetri för att få medelvärdet måste du veta att $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ konvergerar – det gör det för det här fallet, men mer allmänt kan du ’ t anta det. Symmetriargumentet skulle till exempel säga att medelvärdet av standard Cauchy är 0, men det har inte ’ t.
Svar
Eftersom du vill lära dig metoder för datorförväntningar och vill veta några enkla sätt, kommer du att använda momentgenererande funktion (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
Metoden fungerar särskilt bra när distributionsfunktionen eller densiteten ges som exponentialer i sig. I det här fallet behöver du inte göra någon integration efter att du har observerat
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
för att skriva standardfunktionen för normal densitet vid $ x $ som $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (för en konstant $ C $ vars värde du inte behöver veta), så att du kan skriva om dess mgf som
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
På höger sida följer du $ e ^ {t ^ 2/2} $ term, kommer du att känna igen integralen av den totala sannolikheten för en normalfördelning med medelvärdet $ t $ och enhetsvariansen, vilket är $ 1 $. Följaktligen phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Eftersom den normala densiteten blir liten vid stora värden så snabbt, finns det inga konvergensproblem oavsett värdet på $ t $. $ \ phi $ är igenkännbart analytiskt vid $ 0 $, vilket betyder att det motsvarar sin MacLaurin-serie
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ vänster (t ^ 2/2 \ höger) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ vänster (t ^ 2/2 \ höger) ^ k + \ cdots.$$
Men eftersom $ e ^ {tX} $ konvergerar absolut för alla värden på $ tX $, kan vi också skriva
$$ E [e ^ {tX}] = E \ vänster [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ höger] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Två konvergerande effektserier kan bara vara lika om de är lika term för term, varifrån (jämför termerna med $ t ^ {2k} = t ^ n $)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
antyder
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(och alla förväntningar på udda krafter på $ X $ är noll). För praktiskt taget ingen ansträngning har du fått förväntningarna på alla positiva integralkrafter på $ X $ på en gång.
Variationer av denna teknik kan fungera lika bra i vissa fall, till exempel $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, förutsatt att intervallet $ X $ är lämpligt begränsat. Mgf (och dess nära släkting karakteristiska funktionen $ E [e ^ {itX}] $) är dock så allmänt användbara att du hittar dem i tabeller över fördelningsegenskaper, såsom i Wikipedia-posten om normal distribution .