Min fråga är hur man beräknar typ II-fel $ \ beta $?
-
Antag att jag vill testa $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (Jag måste beräkna typ II-fel $ \ beta $, så jag måste fixa ett $ \ mu $, säg 1, i $ H_1 $).
-
Antag att distributionen för $ H_0 $ är $ F_0 $, $ H_1 $ är $ F_1 $, där $ E [\ xi] = 0 $ om $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ om $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Nu skapar jag en estimator för $ \ mu $, säger $ \ bar {X} _n $ och en teststatistik $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (låt oss anta $ \ sigma $ är känt).
-
Nu skapar jag en avvisningsregel ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Typ II-fel beräknas som $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Mina frågor är (vill verifiera tre saker):
-
Ovanstående konstruktionslogik är korrekt, eller hur?
-
Fördelningen i ”$ P_ {F_1} (S_n > b) $” är $ F_1 $, eller hur?
-
[bryr sig mest om] $ S_n $ i ”$ P_ {F_1} (S_n > b) $” borde använda $ F_0 $ för att beräkna, eller hur?
-
Jag menar, oavsett typ I eller typ II-fel jag beräknar måste jag alltid använda $ F_0 $ för att beräkna teststatistiken, eller hur?
-
Jag menar, $ S_n $ är alltid $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ i felberäkning typ I eller typ II attion, men inte $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ vid beräkning av $ \ beta $, eller hur?
-
Eller, detta borde inte vara ett problem, för teststatistik är bara en funktion av provet och bör inte omfatta parametrar?
-
Kommentarer
- Typ II-fel är att inte avvisa nollhypotesen när den är falsk, dvs $ H_1 $ är sant. Jag tycker att du borde använda $ F_1 $ för att beräkna P men inte $ F_0 $ som du har skrivit $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Du kan också hänvisa till effektberäkning som baseras på parametern $ H_1 $ och typ II $ \ beta $ = 1-effekt
- Tack! Du har rätt. Jag gjorde ett misstag. Det är $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ för typ II-felet.
Svar
Beteckna $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ är fördelningen under nollhypotesen och $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ under $ H_1 $, så du har en teststatistik $ X $ och du vill testa
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ kontra $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Så som du beskriver det vill du utföra ett ensidigt test och du definierar den kritiska regionen i höger svans. Så efter att du har valt en konfidensnivå $ \ alpha $, använder du distributionen $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ för att hitta kvantilvärdet $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ så att $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (jag antar kontinuerliga fördelningar). Superindex $ (0) $ anger att sannolikheterna mäts under $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, så att du behöver nollfördelningen $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ för att definiera den kritiska regionen, dvs. kvantilen $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Från ett exempel kan du observera ett resultat $ x $ för den slumpmässiga variabeln $ X $ och nollpunkten kommer att avvisas när $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Med andra ord kommer ditt test att avgöra att $ H_1 \ textrm {bestäms som sant} \ iff x \ i [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
kraften i ditt test är sannolikheten att $ H_1 $ bestäms som sant när $ H_1 $ är sant , så kraften är sannolikheten att $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ när $ H_1 $ är sant, detta är sannolikhet att $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ när den sanna fördelningen är $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ eller makten $ \ mathcal {P} $ är
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Där superindex $ (1) $ indikerar att sannolikheterna beräknas under $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Effekten mäts med $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ men du behöver värdet $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ som beräknas med $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Jag använde makten $ \ mathcal {P} $ och typ II-felet $ \ beta $ är $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
I ditt fall
Du har rätt när du säger att ”” Fördelningen i ”$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ ”är $ F_1 $” ”
För att hitta $ b $ måste du dock använda $ F_0 $. Faktum är att $ b $ är analog med $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $