Hur fungerar flytkraft?

Grundidé

Föreställ dig ett djupt hav av vatten. Föreställ dig en kolumn av vattnet som går från ytan till ett djup $ d $. Den vattenkolonnen har en viss vikt $ W $. Därför finns det en nedåtgående kraft av storleken $ W $ på den vattenpelaren. Du vet dock att vattenkolonnen inte accelererar, så det måste finnas en kraft uppåt på storleken $ W $ som trycker på den kolonnen. Det enda under kolonnen är mer vatten. Därför måste vattnet på djupet $ d $ skjuta upp med kraft $ W $. Detta är kärnan i flytkraft. Låt oss nu göra detaljer.

Detaljer

Vikten $ W $ för en kolumn med vatten i tvärsnittsarea $ A $ och höjd $ d $ är

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

där $ \ rho _ {\ text {water}} $ är vattentätheten. Detta betyder att vattentrycket vid djupet $ d $ är

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

ntar att du sätter ett objekt med tvärsnittsarea $ A $ och höjd $ h $ i vattnet. Det finns tre krafter på det objektet:

1. $ W $: Objektet s egen vikt.
2. $ F _ {\ text {ovan}} $: Kraften på vattnet ovanför objektet.
3. $ F _ {\ text {nedan}} $: Kraften av vattnet under objektet.

Antag att botten på objektet är på djupet $ d $. Då är toppen av objektet på djupet $ d-h $. Med hjälp av våra resultat från tidigare har vi

$$ F _ {\ text {nedan}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {ovan}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {vatten}} $$

Om objektet är i jämvikt är det accelererar inte, så alla krafter måste balansera:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {ovan}} & = & F _ {\ text {nedan}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

där vi i den sista raden definierade objektets volym som $ V \ ekviv h A $. Detta säger att villkoret för jämvikt är att objektets vikt måste vara lika med dess volym gånger vattnets densitet. Med andra ord måste objektet förskjuta en mängd vatten som har samma vikt som objektet. Detta är den vanliga flytkraften.

Från denna beskrivning tror jag att du kan sträcka dig till fallet med luft istället för vatten och horisontellt istället för vertikal tryckgradient.

Jag tror att tryck som verkar på den lättare sakens yta har något att göra med det, men det handlar om den.

Detta är faktiskt början och slutet på HELA berättelsen. Detta är i teorin allt du behöver veta om flytkraft. Låt oss se hur detta påstående spelar ut och hur det leder till de andra kunskapsbitarna du har samlat på flytkraft.

Du kan helt enkelt föreställa dig ett gratis kroppsdiagram för den flytande / nedsänkta kroppen. på den är trycket, överallt normalt mot kroppens yta, och kroppens vikt.

Nettokraften på kroppen från den omgivande vätskan är då:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

där vi sammanfattar tryckkrafterna $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ som verkar på elementen i området $ \ mathrm {d} S $ i riktning mot enhetens normala $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ som en funktion av position $ \ mathbf {r} $ över gränssnittsytan $ S $ mellan vätskan och kroppen. Det är allt som finns i den. Naturligtvis är det svårt att se från (1) ensam vad som kommer att hända med en kropp genomsyrad av vätska, så låt oss gå vidare till mer praktiska svar.

Vi gör ett litet trick: det visar sig att du alltid kan anta för flytproblem att ytan $ S $ i (1) är en sluten gräns för en volym (det är även när du hanterar problem som båtar som helst är inte helt nedsänkt och den stängda gränsen verkar vid första anblicken inte tillämpbar). Vi bildar först den inre produkten av $ \ mathbf {F} $ med en godtycklig enhetsvektor $ \ mathbf {\ hat {u}} $ och sedan, med tanke på den stängda ytan, kan vi tillämpa divergenssats till (1) för volymen $ V $ inom den slutna ytan $ S = \ partial \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ partial V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

vilket, med tanke på enhetsvektorn $ \ mathbf {\ hat {u}} $ är godtycklig, betyder:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

och vi ska föreställa oss tryckfältet $ p (\ mathbf {r}) $ att skulle finnas i vätskan i ytan om vätskan inte förskjutits av kroppen som tar upp volymen $ V $. Från (2) kan vi se omedelbart den andra delen av kn kunskap som du har hört talas om:

ballonger får sin ”känsla av ner” från ett tryck . [fet gruva]

det vill säga ingen netto flytande kraft på kroppen om inte trycket $ p $ varierar från plats till plats. I annat fall är $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ identiskt inget.

Om du inte är helt bekväm med divorenssatsen, tänk på och analysera en nedsänkt kub. I en vätska där trycket inte varierar med positionen balanseras kraften på varje yta exakt av motsatt kraft på motsatt yta. Ett annat fall som ger intuition är en sfär i en vätska med ett konstant tryck överallt: kraften på någon punkt balanseras exakt av motsatt kraft på den antipodala punkten. Argumentet om divergenssats låter dig helt enkelt dra slutsatsen om allmänna slutsatser som denna som du kan göra för symmetriska objekt.

Låt oss nu gå vidare till ett tryckfält som kommer att bli vant till dig som dykare; tar vi riktningen $ \ mathbf {\ hat {z}} $ som ner, är tryckfältet i en stillvätska som ligger på ytan av en planet med radie mycket större än djupet vi behöver tänka på:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

där $ \ rho $ är vätskedensiteten, $ g $ gravitationsacceleration och $ p_0 $ trycket vid $ z = 0 $. Om vi ansluter detta till (2) får vi:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

där $ V_f $ är volymen av förskjuten vätska. Detta är naturligtvis Archimedes ”-principen; den håller för vätskeområden tillräckligt små för att tryckvariationen är en linjär funktion av positionen. Även om det verkar säga ”den förskjutna vätskan skjuter tillbaka” så många vaga förklaringar av flytkraft, men det är nonsens. Den förskjutna vätskan är inte ens där: principen är bara resultatet av att använda matematiska knep för att översätta den grundläggande principen, som är förkroppsligad i din text som jag citerade i första raden i detta svar och i (1) och förflyttad flytande pushback ”bara en mnemonic för att återkalla principen.

Ytterligare två kommentarer är i ordning:

1. För det första, notera att svaret i (4) är oberoende av $ p_0 $, om därför inte kroppen är helt nedsänkt (som ett arbetsbåtskrov), då kan vi helt enkelt ta volymkorsningen med vätskan för att vara volymen $ V $; skärningspunkten mellan vätskans yta och volymen begränsar sedan den reducerade volymen och kraftbidraget på ovansidan är då inget (eftersom vi godtyckligt kan ställa in $ p_0 = 0 $ utan att ändra våra resultat).
2. För det andra, igen, om du är obekväm med skillnadssatsen, gör analysen för en kub med sina kanter vertikala och horisontella som ett klargörande exempel. Även om tryckkraften varierar över de vertikala ytorna är tryckytorna på varje vertikal yta fortfarande exakt motsatta av de på den motsatta ytan. Nettokraften är skillnaden mellan kraften på kubens botten- och övre ytor, som av (3) är den kraft som beräknas av Archimedes-principen.

Som dykare vet du att trycket ökar när du går djupare.

Föreställ dig en cylinder som hålls vertikalt under vatten. Kraften på toppen av cylindern är tryck gånger areal (per definition av tryck). På cylinderns botten är arean densamma men kraften är större (djupare, mer tryck). Skillnaden mellan de två är flytkraften.

När du har ett föremål med ”vilken som helst” form kan du tänka dig att det består av oändligt många tunna cylindrar (sugrör med slutna ändar, om du vill ). Du kan nu upprepa beräkningen för var och en av dessa. Det visar att detta håller även när objektet är roligt.

Det händer så att skillnaden är lika med vikten på det förskjutna vattnet – men ovanstående är mindre abstrakt, tror jag.

Kom alltid ihåg ditt säkerhetsstopp!

Kommentarer

• Tack @floris! Ja, det här är vettigt nu. Problemet jag hade var med luft, där jag trodde att det var en så liten tryckförändring över ett objekt att det inte kunde ’ orsaka tillräcklig flytkraft. Men när jag tänker istället för att massan trycker på toppen och massan trycker längst ner (som du säger), verkar det helt rimligt. Och självklart är att den tryckande massan är ” tryck ”, så tryckförklaringsförklaringen måste också vara korrekt. Tack 🙂

Tja, jag har alltid tänkt på det som gravitationskraft på en icke -jämviktstillstånd.

Försök att föreställa dig två olika bollar ovanpå varandra som faller från himlen (i jordatmosfär). Om den lättare bollen ligger ovanpå den tyngre bollen kommer den lättare bollen att separera från den tyngre bollen. Om den tyngre bollen ligger på toppen av den lättare bollen, har vi två alternativ:

1. Jämviktsstatus – Det betyder att den tyngre bollen ligger direkt ovanpå den lättare bollen – Det kommer inte att finnas några krafter som accelererar bollen i sidled – bara ner. Bollarna kommer att falla som en.
2. Den tyngre bollen är något i sidled till den lättare bollen (de rör fortfarande). I detta fall kommer den tyngre bollen rulla i sidled av den lättare bollen och kommer att gå under den lättare bollen (accelererar snabbare).

Försök nu föreställa dig detta med miljontals bollar som faller genom himlen. Det är ganska logiskt för de tyngre att gå under ljuset ter ones, do not it t?

(This isn t t verkligen a ”physics” answer, it is more of just a simple example of the very basic concept)

Kommentarer

• Båda bollarna accelereras i samma takt. Varför skulle de separera?
• Dragkrafter saktar ner den lättare bollen

Tryck i sin enklaste mening är bara en kraft som verkar över ett område. Föreställ dig alla partiklar i luften i bilen. Luftens tryck är verkligen ett mått på den genomsnittliga kraft som dessa partiklar trycker mot varandra med. När vi tar in en heliumballong för att flyta i bilen trycker luftpartiklarna mot heliumpartiklarna och heliumpartiklarna trycker tillbaka på luftpartiklarna.

Att komma in i lite statisk konstruktion här; Heliumatomernas krafter skjuter alla olika riktningar, men eftersom de alla är inneslutna av ballongen och alla trycker med samma kraft, kan vi anta att dessa krafter alla avlägsnar varandra och de enda krafterna som påverkar ballongen som en helhet är yttre. Vid denna tidpunkt utan några krafter som verkar på den, kan ballongen skjutas fritt i vilken riktning som helst med i princip ingen kraft. Luften skjuter emellertid inte någonstans, för luften trycker också in på ballongen från alla håll och avbryter därför också sig själv.

Nu beräknas kraften som Mass * -acceleration (akaen bowling mot huvudet kommer att slå dig hårdare än en marmor som rör sig i samma hastighet eftersom den har mer massa och därför mer kraft). Acceleration på molekylnivå är direkt proportionell mot temperaturen. Eftersom temperaturen på alla gaser i bilen är densamma kan vi avbryta detta, och det enda som påverkar hur mycket kraft partiklarna trycker på är partiklarnas massa.

Att komma tillbaka till vår bil : Tyngdkraften drar ner på alla partiklar i bilen med samma konstanta acceleration, 9,8 m / s ^ 2. Luftpartiklarna dras ner med en kraft som är lika med deras massa * 9,8m / s ^ 2. Heliumpartiklarna dras också med samma acceleration, men eftersom deras massa är så mycket mindre än den för syre, kväve och andra partiklar i luften, är deras kraft att gå ner mycket mindre och de skjuts tillbaka upp av ju mer kraftiga luftpartiklar. Det är därför ballongen flyter.

Därefter börjar bilen röra sig. Efter tröghetslagen (vid föremål i vila tenderar att stanna i vila tills de påverkas av en yttre kraft), även om bilen börjar röra sig framåt, förblir gaspartiklarna på plats. Föreställ dig en boll som flyter ovanför din instrumentpanel som förblir på denna absoluta plats oavsett hur du rör dig. Dra fram en fot och nu är den ovanför mittkonsolen. Ytterligare ett par meter och den sitter i baksätet. Det är precis vad som händer med alla gaspartiklar i bilen. Nu har alla partiklar flyttat sig till baksidan av fordonet och det finns mycket mindre framför. Eftersom det nu finns fler luftpartiklar bakom ballongen för att trycka mot den än bakom den, tar krafterna inte längre ut varandra och ballongen skjuts framåt.

Förhoppningsvis hjälper detta att förklara det tydligare . Ledsen att detta var ganska ordligt, låt mig veta om det behövs något bättre!

Kommentarer

• Någon skakig fysik där inne … till exempel en bowlingkulan träffar hårdare än en marmor som rör sig i samma hastighet eftersom den bär mer fart, och därför stoppar den en större förändring i momentum, vilket innebär att mer kraft applicerades om att stoppa båda sker under samma tidsintervall. Ungefär hälften av svaret är bra och i stort sett är det ’ mer eller mindre korrekt, men det saknar flera (viktiga) detaljer.
• Det är sant, det ’ har varit ett tag plus försökte förenkla så mycket som möjligt. Redigera gärna efter behov.