Hur kan jag plotta den komplexa grafen för $ x ^ x $ i Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Här ”en vy som visar hur diagrammet börjar spiral för negativa $ x $ -värden, om vi tar hänsyn till de komplexa värdena.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Faktum är att om vi skriver $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, så är detta n generellt generellt till $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; varje $ 2i \ pi k $ representerar en annan gren av den komplexa logaritmen. I detta sammanhang ser vi att den här grafen bara bildar en spiral av en familj av spiraler.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

I elementära klasser kan du se påståendet att $ (p / q) ^ {p / q} $ definieras för $ p $ negativ och $ q $ udda och positiva. Således, inklusive dessa punkter, kan grafen se ut så här:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Ur det komplexa perspektivet uppstår punkter som fläckar där en av spiraltrådarna punkterar $ x $ – $ z $ -planet.

Kommentarer

• Jag valde yulinlinyu ' s som svar eftersom det svarade på min fråga direkt och kortfattat – men Mark Mcclure ' s svaret går utöver – och är den verkliga juvelen i den här tråden!

Som yulinyu har påpekat ut, något som följande ger dig önskad plot.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Du kanske också är intresserad av detta utmärkta svar av Simon Woods för att skapa en graf över handlingen över den komplexa domänen. Att använda hans funktion och utvärdera följande ger dig en vacker bild

domainPlot[#^# &] 

Kommentarer

• För en sekund trodde jag att jag rökte …. men nej
• Tränar du dina hypno-krafter?

Du kan använda det nya i M12-funktioner ReImPlot och ComplexPlot för komplexa visualiseringar av en funktion . Med ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

och ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Också

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

gör jobbet i version 12.0.