Hur kan ljudets hastighet öka med en temperaturökning?

Ljudets hastighet ges av:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

där $ P $ är tryck och $ \ rho $ är gasens densitet. $ \ gamma $ är en konstant som kallas adiabatiskt index . Denna ekvation utformades först av Newton och modifierades sedan av Laplace genom att införa $ \ gamma $ .

Ekvationen borde vara intuitiv. Densiteten är ett mått på hur tung gasen är och tunga saker svänger långsammare. Trycket är ett mått på hur stel gasen är och styva saker oscillerar snabbare.

Låt oss nu överväga effekten av temperatur. När du värmer upp gasen måste du bestämma om du kommer att hålla volymen konstant och låta trycket stiga, eller hålla trycket konstant och låta volymen stiga, eller något däremellan. Låt oss överväga möjligheterna.

Antag att vi håller volymen konstant, i i vilket fall trycket stiger när vi värmer upp gasen. Det betyder i ekvation (1) $ P $ ökar medan $ \ rho $ förblir konstant, så hastigheten av ljudet går upp. Ljudhastigheten ökar eftersom vi effektivt gör gasen styvare.

Antag att vi håller trycket konstant och låter gasen expandera när den värms upp. Det betyder i ekvation (1) $ \ rho $ minskar medan $ P $ förblir konstant och igen hastigheten av ljud ökar. Ljudets hastighet ökar för att vi gör gasen lättare så att den pendlar snabbare.

Och om vi tar en medelkurs och låter trycket och volymen öka då $ P $ ökar och $ \ rho $ minskar och igen höjer ljudets hastighet.

Så vad vi än gör , ökar temperaturen ljudets hastighet, men det gör det på olika sätt beroende på hur vi låter gasen expandera när den värms upp.

Precis som en fotnot följer en idealgas ekvationen av tillstånd:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

där $ n $ är antalet mol av gasen. (Molär) densitet $ \ rho $ är bara antalet mol per volymenhet, $ \ rho = n / V $ , vilket betyder $ n = \ rho V $ . Om vi ersätter $ n $ i ekvation (2) får vi:

$$ PV = \ rho VRT $$

som ordnas om till:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Ersätt detta med ekvation (1) så får vi:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

så:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

det är där vi kom in. Men i denna form döljer ekvationen vad som verkligen händer, därav din förvirring.

Experimentellt är proportionalitetskonstanten för ovanstående ekvation ungefär . 20.

Kommentarer

• Ville bara meddela att ditt svar fortfarande hjälper människor 6 år senare … Jag ’ har spenderat ungefär en timme på att hitta en intuitiv förklaring till denna formel, och du ’ har sammanfattat allt mycket bra i några meningar 🙂

Bra fråga. Det korta svaret är att din intuition (om täta saker med högre ljudhastigheter) troligen påverkas av olika material vid samma temperatur och är smutsad av fasta ämnen, när problemet här verkligen handlar om gaser, som är olika.

Låt oss titta på några data:

Luften är gles och har en låg ljudhastighet på 760 mph. De tyngre sakerna som koppar är täta och har en högre ljudhastighet.Stål har en ljudhastighet på 10 000 mph !

Så din intuition är inte så dålig, eller hur?

Vad sägs om kall luft kontra varm luft? Den kalla luften är tätare men har lägre ljudhastighet! Här är där vi kan se din underbara paradox.

Det visar sig att avstötning på grund av yttre kompressionsvågor (vad du kallade mekaniska vågor) i ett fast ämne som en metall skapas från andra mekanismer än en komprimerbar gas. En tryckvåg i ett fast ämne komprimerar relativt stationära joner i ett galler. Gitteret är väldigt starkt och atomerna rör sig inte, men de kan vibrera. Om du pressar lite stål, komprimerar du det här lite, men de elektriska fälternas funktionella beroende i detta galler är ganska komplicerat. till frågan här är ett förhoppningsvis uppenbart resultat att beroendet av temperaturen inte kommer att vara för starkt, eftersom kraften (avståndet) bestämmer hur snabbt en störning färdas genom gitteret och den energi du ger till atomerna i det gitter som vann ”t förändrar förhållandet mellan gitter-avstånd-kraft-kurvan av intresse här.

En gas är ett mycket annat odjur genom att det bara finns en massa oberoende partiklar som flyger runt. Här är ljudets hastighet , i grund och botten, ett viktat genomsnitt av de snabbare gasmolekylerna som naturligtvis rör sig med kvadratroten av energin / temperaturen.

Jämfört med ett fast ämne, frågan om vad som är ljudets hastighet i en gas är helt trivialt. Läs th är eller det här eller för att få en uppfattning om hur mycket mer komplexa fasta ämnen är. Om jag bara gav fysiker atomegenskaperna (inte saker som bulkmodulen) för ett fast ämne som koppar och även av en gas som O $ _ \ rm 2 $, skulle de bara kunna beräkna, åtminstone med en enkel kalkylator, ljudets hastighet i O $ _ \ rm 2 $.

Ett snabbt sätt att fixa din intuition är att notera ljudets hastighet i ett fast ämne vid absolut noll jämfört med en gas. Endast den senare är noll. Det är faktiskt därför att gaser inte kan existera nära absolut noll. Molekylerna i tillräckligt kallt gas har inte ens tillräckligt med energi för att komma ifrån varandra, så de måste vara flytande eller fasta istället.

Förhoppningsvis ser du nu att dina tidigare erfarenheter verkligen bara gällde för olika material, inte för enskilda material som en funktion av temperaturen.

Ljudvågor sprider sig genom ett medium som resultat av kollisioner mellan molekyler. Vid högre temperaturer har molekyler större kinetisk energi, och när de rör sig snabbare uppstår kollisioner med högre frekvens och de bär ljudvågor snabbare. Större kinetisk energi = mindre tröghet = ökad hastighet.

Eftersom ljudvågor är kompressionsvågor som rör sig genom ett komprimerbart medium beror deras hastighet inte bara på mediumets tröghet utan också på dess elasticitet.

Generellt är ju närmare molekylerna ju snabbare de kommer bär ljudvågor. Även om avståndet mellan molekyler tenderar att öka när ett medium värms upp är detta relativt mindre viktigt för ljudets hastighet inom ett givet medium än molekylernas snabbare rörelse.

Ju högre temp. innebär högre hastighet för molekylen, så den kolliderar med nästa molekyl vid en snabbare tid även om de är långt ifrån var och en. å andra sidan, den lägre temp. betyder lägre hastighet och så kan det också kollidera med sin nära granne vid längre tid. merci!

Vi vet att temperatur och kinetisk energi är direkt proportionell. När temperaturen ökas ökar luftmolekylernas kinetiska energi och molekylerna rör sig snabbare. På grund av vilken ljudutbredning sker snabbt ökar hastigheten.