Hur lång tid tar det för en kopp vatten att avdunsta?
För att svara på denna fråga antar jag några grundläggande parametrar och att vattnet blåses på av en fläkt för att komma fram till en uppskattning:
- Vattenvolym: $ V = 200 \ \ mathrm {mL} $
- Övre yta för vatten: $ A_ \ mathrm s = 0,05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Rumstemperatur: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Vattentemperatur: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Relativ fuktighet för vatten i rumsluften: $ 50 \ \% $
- Värmeöverföringskonvektionskoefficient från en fläkt / vind: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
Låt oss anta att vattnet är i termisk jämvikt med det omgivande rummet (en stor värmebehållare) så att det inte finns någon flytande konvektion.
Jag börjar med det förångande massflödet som ges av
$$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
och $ h_m $ är massaöverföringskoefficienten, som hittas från värme- och massöverföringsanalogin:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
där $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ är Lewis-numret. Så den förångande massflödeshastigheten är
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
Vi kan uppskatta densitetsskillnaden genom att använda luftens relativa luftfuktighet vid ~ $ 50 \ \% $ för ett normalt rum:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0,5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0,5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0,5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ times 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8.315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ times 298 \ \ mathrm K} = 0,012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
Lewis-talet beräknas utifrån termisk diffusivitet $ \ alpha = 2.2 \ gånger 10 ^ {- 5} $ och den binära diffusionskoefficienten $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ för diffusion av vattenånga genom luft ges av en experimentell korrelation (med $ p $ i $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1,87 \ gånger 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2.072}} {p} = 1.87 \ gånger 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2.5 \ gånger 10 ^ {- 5} $$
Lewis-numret är därför $ Le = \ frac {2.2} {2.5} = 0,88 $ . Massflödet från ytan är
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ gånger 0,012} {1,2 \ gånger 1000 \ gånger 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ gånger 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Nu antar jag att detta massflöde förblir konstant med tiden eftersom vattnet är i termisk kvasijämvikt med rummet (en stor temperaturbehållare) och förblir därför vid konstant temperatur, vilket ändrar inte vattnets egenskaper.
Masskonservering på vattnet ger
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
Integrering, vi finner att tidsgraden för massförändring är linjär:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
För att helt avdunsta, $ m (t) = 0 $ och
$$ t = \ frac {m_0} {\ dot {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1.2 \ times 0.2} {5.5 \ times 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1.2 \ \ mathrm h $$
Vattnet tar 1,2 timmar att helt avdunsta.
1 timme för avdunstning verkar ganska snabbt, men jag använde en stor konvektionskoefficient från början. Några tankar / frågor:
- Vad händer om det inte fanns någon tvingad konvektion från en fläkt? Vi har inte flytande naturlig konvektion eller strålning eftersom vattnet är i termisk jämvikt med rummet. Vad är karaktären av avdunstning i detta fall och hur kan vi beräkna massförlusten?
- Jag antog att förlust av förångningsmassa är konstant under hela tiden, eftersom vattnet är i termisk jämvikt med rummet (en stor behållare) och inte ändrar temperatur. Är detta ett bra antagande?
Kommentarer
- Jag har inte ' t kontrollerat din aritmetik, men din inställning är korrekt. När det gäller frågan, om det absolut inte finns någon konvektion, då, som i värsta fall skulle du ha ett rakt diffusionsproblem.Det skulle innebära att du skulle få koncentrationsuppbyggnad i luften som omger koppens yta, och omfattningen av detta område skulle öka med tiden, med 100% fuktighet vid ytan och 50% fuktighet långt från ytan.
- @ChetMiller Så det skulle vara som ett halv-oändligt massdiffusionsproblem, med liknande styrande ekvationer och lösningar på det värmeöverförande halv-oändliga problemet? Massflödet skulle då vara tidsberoende, rätt?
- Som en praktisk fråga tror jag att det är ganska svårt att försöka beräkna avdunstningshastigheten exakt. Det finns i allmänhet ett tunt, stillastående luftskikt strax ovanför vattenytan som har en mycket högre relativ luftfuktighet än RH i rummet, och det tunna skiktet är en viktig avdunstningshastighetsbegränsande faktor. Tänk inte ' ' är en enkel sak att exakt beräkna skiktets FF eller tjocklek, eller hur dessa två parametrar kan förändras som en funktion av mängden luftflöde över ytan. Avdunstningshastigheten kan också vara känslig för liten olja eller andra filmer på ytan.
- Visst. Det skulle antagligen behöva lösas numeriskt såvida du inte skulle vara villig att approximera vattenytan som ett litet cirkulärt område inbäddat i ett oändligt plan under det halva oändliga halvrummet. Jag ' är säker på att Carslaw och Jaeger har lösningen på detta analoga värmeöverföringsproblem.
- @SamuelWeir Drew ' s lösning tar hänsyn till koncentrationsgränsskiktet ovanför ytan. Hans massaöverföringskoefficient är lika med diffusionskoefficienten dividerad med gränsskiktets tjocklek.