Hur man beräknar höjden på ett hcp-galler?

Vi ska försöka med likheterna mellan hcp och ccp. Här vet vi att $ hcp $ och $ ccp $ har liknande galler förutom det faktum att $ hcp $ är ABAB-typ medan $ ccp $ är ABCABC-typ. Därför vet vi också att deras förpackningsfraktion $ (\ phi) $ är densamma och $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Nu som du nämnde Volym av hcp-galler $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Det finns totalt 6 atomer i hcp. Därav $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ För att förenkla detta får vi höjden på hcp gitter $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Kommentarer

• Vi får veta att deras förpackningsfraktion är lika efter att ha utvärderat volymen från höjd osv. Ditt svar fungerar baklänges.

För att beräkna höjden på en enhetscell, överväg ett tetraederiskt tomrum i ett sexkantigt slutet förpackningsarrangemang. Det kan föreställas som 3 fasta sfärer som rör varandra och i mittpunkten har du en annan sfär staplad över dem. En interaktiv version kan ses på den här webbplatsen . Situationen ser ut så här:

Om du går med i dessa fyra sfärers centrum kommer du att få en tetraeder. Det är i grunden en pyramid med en triangulär bas. Jag antar att varje kant av vår tetraeder är lika med $ a $.

Nu har du en pyramid ($ ABCD $) med en liksidig bas ($ \ Delta BCD $), jag skulle vilja att du släpper en vinkelrät från den högsta punkten ($ A $) till den centrala ($ G $) triangulära basen. Om du följer mig korrekt har du en siffra som denna:

Allt vi behöver gör nu är att beräkna längden $ AG $. För detta, använd helt enkelt den pythagoreiska satsen i $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Även om vi vet att $ AD = a $, förblir sidan $ GD $ okänt. Men det är lätt att beräkna. Poängen $ G $ är centrum för $ \ Delta BCD $. Således är längden $ GD $ lika med $ a / \ sqrt {3} $. Genom att koppla in värdena i vår första ekvation får vi $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Men notera, det här är halv höjden på vår enhetscell. Den erforderliga höjden är således $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

I den sexkantiga närmast packade strukturen, $ a = b = 2r $ och $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , där $ r $ är atomens radie för atomen. Sidorna på enhetscellen är vinkelräta mot basen, så $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

För närmaste -packad struktur är atomerna i hörnen på basen av enhetscellen i kontakt, alltså $ a = b = 2 r $ . Enhetscellens höjd ( $ c $ ), som är mer utmanande att beräkna, är $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Låt kanten på den sexkantiga basen vara lika $ a $

Och hexagonens höjd är lika $ h $

Och sfärens radie lika $ r $

Det första skiktets mittfärg ligger exakt över tomrummet för det andra lagret B.

Mittfältet och sfärerna i det andra lagret B är i kontakt

Så, i $ \ Delta PQR $ ( en liksidig triangel):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Rita $ QS $ tangent vid punkter

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ vinkel QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Följaktligen i beräkningen av packningseffektiviteten för hcp arr inriktning tas enhetscellens höjd som $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

FRÅN

Kommentarer

• Vad betyder triangeln med punkter?
• Hur kommer vinkel QRS till 30 grader?