Antag att vi har Hamiltonian på $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dolk} + A)) $$ Vi vet också $ AA ^ {\ dolk} = A ^ {\ dolk} A-1 $ och $ A ^ 2 = 0 $, vilket låter $ W = A ^ {\ dolk} A $
Hur kan vi uttrycka $ H $ som $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Hittills har jag visat att om vi tar hänsyn till egenvärdena $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Det innebär att $ A | \ psi \ rangle $ och $ A ^ {\ dolk} | \ psi \ rangle $ också är egenvektorer på $ W $ med egenvärde $ 1-w $. Med hjälp av $ A ^ 2 = 0 $ finner vi att $ w = 0 $ eller $ 1 $
Jag är inte helt säker på hur du ska uttrycka operatörer som matriser, som majoriteten av min kurs har använt vågfunktionsnotation, jag skulle verkligen uppskatta om någon kunde förklara nästa steg här bara så att jag kan få en mer noggrann förståelse för det.
Kommentarer
- Kan du lösa för A, från de två ekvationerna som du skrev? anta allmänna komplexa nummer a, b, c, d som matrisvärdena för A. Jag misstänker att detta kan fungera.
Svar
Som @MichaelBrown har påpekat i svaret, för att få matriselementet måste du bara klistra in operatören mellan två tillstånd. Så när det gäller din Hamilton $ H $, matriselementen ges som $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Jag bör påpeka att $ i $ ”s som du använder borde vara basuppsättningen som du är i. Om du har ett tillstånd $ \ psi $, är det $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ endast än kan du uttrycka operatörens matriselement på detta sätt. Om du klämmer in operatören mellan själva staten kommer du att sluta med förväntningarna på staten. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Kommentarer
- Tack för att du tog dig tid att svara, men som jag sa till MichaelBrown, hur kan jag tillämpa detta i den här situationen? Där allt jag vet är två egenvektorer och deras motsvarande egenvärden.
Svar
Matriselementet $ O_ {ij} $ för en operatör definieras av $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ och det är traditionellt att $ i $ indexet markerar raden och $ j $ märker kolumnen. På detta sätt fungerar matrixmultiplikation som du förväntar mig: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ som du kan visa genom att infoga en komplett uppsättning tillstånd.
Kommentarer
- Tack för ditt svar, men hur kan jag tillämpa detta på den här situationen? Där allt jag vet är två egenvektorer och deras motsvarande egenvärden.