Hur skapar man “ bra ” matematiska problem?

Eftersom din fråga är väldigt bred, här är ett något brett svar: Läs om problemställning.

Tre viktiga delar är:

Silver, EA (1994). Om matematisk problemställning. För inlärning av matematik, 14 (1), 19-28.

och boken

Brown, SI, & Walter, MI (2005). Konsten att ställa problem . Psychology Press.

Det senare är ett omtryck av en bok som först kom ut 1983. Du kan också hitta en relaterad bok redigerad av Brown och Walter; en citat för den senaste versionen är:

Brown, SI, & Walter, MI (red. ). (2014). Problemställning: Reflektioner och applikationer . Psychology Press.

Börja med dessa tre dokument, deras referenser och (söka på google scholar) andra artiklar och artiklar som citerade dem.

Att skissera mycket grovt Brown och Walters förslag: Börja med ett matematiskt scenario, lista antaganden, variera begränsningar (i deras termer: ” Vad-om- inte ”) och sedan ställa frågor. Du kan till och med ” cykla ” genom denna process upprepade gånger för att producera problem med ökande komplexitet.

Naturligtvis medför problemposering risken att inte veta svaret på det du frågar.

Till exempel kan ditt startscenario använda Pythagoras teorem:

Hitta alla heltalslösningar för $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .

Detta specifika exempel utforskas i Brown och Walters bok, men det verkar för mig som ett rimligt antagande att lista att exponenten överallt är $ 2 $ , och att be om heltalslösningar när exponenten är $ 3 $ .. .. eller, om man känner sig särskilt vågad, att generalisera och be om exponent $ k \ geq 3 $ .

I korthet kan detta verka som en rimlig fråga; men om du känner till Fermats sista sats, kommer du att inse att detta inte är ett lämpligt problem för de flesta studenter.

Du kan hitta några av mina korta kommentarer om problemställning och kreativitet delvis $ 4b $ här , och ett par andra exempel som relaterar till problemställning och intuition i konkret exempel avsnitt här .

En sista anmärkning: Du börjar med att nämna ” väsentligt ” roll för problem lösning för att förbättra vår förståelse för matematik. Det kan vara värt att notera att problem posering spelar en viktig roll i lösa, överväga Polyas lista över heuristik och hur många av dem är frågor: Vad är ett relaterat problem? Vad är ett enklare problem? Hur kan jag generalisera detta problem? Etc. (historiskt spårar både Silver, i den första biten som citeras ovan, och Kilpatrick, om problemformulering , denna observation, dvs att det är en integrerad del av problemlösningen, åtminstone tillbaka till en uppsats från 1945 av Karl Duncker.)

Som Cantor (1867) skrev i sin doktorsavhandling:

“In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”

(“ I matematik är konsten att ställa frågor mer värdefull än att lösa problem ”).

Kommentarer

• Medan jag ’ en fan av P ó lya ’ s bok, jag är rädd att den har antagandet att du får alla nödvändiga data, och bara nödvändiga data, för mycket inbyggda . ” Verklig värld ” problem handlar till stor del om att ta reda på vad som är relevant och vad som inte är ’ t, och samla missin g data.
• @vonbrand Förutom att titta på några av Polya ’ s efterföljande böcker (efter- Hur man löser det ) I ’ d föreslår, för ” verklig värld ” problem, undersöker litteraturen om matematisk modellering. Korsningen av matte modellering och matematik utbildning kan fortfarande kammas ganska fullständigt; börja med Pollak ’ s arbete (relevant: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) och flytta ut till dess citat …

För mig finns det kanske tre huvudtyper av problem som jag tilldela:

1. Rutinmässig skicklighetsuppbyggnad : antingen modelleras på en beräkning som jag har visat liknande problem löst, eller är ett bevisproblem som bara är en naturlig följd av definition med lite extra teknik som krävs. För en provkurs är många problem lite mer än en inbjudan att bry sig om vad notationen egentligen betyder.
2. Breddupptäckt : i varje kurs finns det vissa ämnen för vilka vi inte har tillräckligt med tid i föreläsningen. Det är en mycket givande upplevelse för studenter att vägledas genom en kort modul av problem där de upptäcker de väsentliga funktionerna i ett ämne som inte behandlas djupt av föreläsningar och annat material.
3. Utmaning : här finns inga skenor, ingen ruta, ingen förväntning någon på kursen löser det. Ibland används dessa för att visa begränsningarna för en nuvarande familj av tekniker för att lösa problem, ibland handlar det om lite suddig intuition som styr ett kreativt steg.

Jag misstänker att de flesta problemen jag skriver och / eller tilldela passform i antingen 1 eller 2, men studenter anklagar mig ofta för 3. Ärligt talat, en av anledningarna till att jag försöker surfa en hel del på MSE är att bedöma vad som omfattas av mina kurser vid andra universitet. Den internationella smaken av MSE hjälper mig också att få ett tvärsnitt av vad som händer på skolor över hela världen.

Kommentarer

• Du utelämnar all-time favorit trickfrågan, där du måste komma med någon Rube-Goldbergian twist för att ha någon hopp om att lösa problemet. Många här anklagas för att ha gjort pussel, inte tentor …
• @vonbrand, det skulle förmodligen falla under utmaning. Ofta börjar sådana problem med ett svar, en del mörk magi med serier inträffar och sedan ombeds eleven att se ett mönster … ha ha ha … ondska.

Två förslag:

1) Delta i workshops och konferenser och sök efter problemlösningssessioner eller presentatörer som delar sina ”favoritproblem.”När problemen och lösningarna diskuteras visas unika metoder och tillvägagångssätt.

2) Bygg ett bibliotek och ta dig tid att läsa. Samla böcker, pdfs och källor. En lärobok som inte är lämplig för studenterna kan vara bra problemkälla. (Använd Amazon och eBay för att få använda versioner som är mycket billigare.) Ändra versionen av läroboken efter behov. Kreativitet för att skapa problem kommer från att bläddra igenom källor.

Kommentarer

• Kolla in matematik-olympiadwebbplatser. Leta efter föreläsningsanteckningar, (lösta) tentor, läxor, … ’ nätet full av den typen av saker.

Du angav inte en specifik nivå, men jag tror att din fråga har meriter hur som helst. Jag tar det på K-8-nivån. Först vill jag ta itu med ditt specifika krav:

Med ”bra” menar jag tankeväckande, inspirerande problem med lösningar som kan utökas till andra domäner.

Jag tolkar ”inspirerande” så att eleverna kommer att ha en motivation att engagera sig i problemets matematik. För ”tankeväckande” antar jag att du menar att problemen har stor sannolikhet för att eleverna ska engagera sig i produktiva matematiska resonemang. Dessa är väsentliga egenskaper för bra undersökningar i en läroplan. Det vill säga en bra läroplan bör innehålla aktiviteter och undersökningar som uppfyller dessa.

Jag frågade en gång en välkänd högkvalitativ läroplanutvecklare hur hon visste att hennes läroplanproblem passade kraven i ” realistisk matematikutbildning ”(vilket var tillvägagångssättet som inspirerade hennes läroplan. Hon svarade att de var tvungna att prova varje aktivitet med riktiga studenter många gånger i forsknings- och utvecklingsprocessen. Medan de första utkasten kan ha baserats på teori, i verkligheten testades den färdiga läroplanen kraftigt.

Därför, hitta och samla problem som utvecklats av bra läroplanerare. Bygg om nödvändigt ditt eget bibliotek med sådana problem.

En sista anmärkning: du föreslog att du ville ha problem vars lösningar kunde utvidgas till andra domäner. Jag föreslår att du är försiktig med denna typ av antagande när du letar efter problem. Vad de kommer att förstå i processen med att posera och lösning kan hjälpa dem att bilda anslutning sektioner mellan sammanhang. Det kan dock vara svårt att stödja begreppet ”domänöverförbara lösningar” i god matematiklitteratur. Fokusera mer på vilken typ av matematiskt resonemang eleverna får möjlighet och resurser att engagera sig i.