På bilden som visas:
Antag att det finns en man som applicerar en kraft $ F $ för att stödja lådan med en sladd som lindas över en friktionsfri remskiva (systemet är i jämvikt och inget rör sig)
Nu, om vi vill rita det fria kroppsdiagrammet för remskivan, kommer det att se ut så här:
Vi vet att $ T_1 = T_2 $ eftersom remskivan är friktionsfri, och vi kan kontrollera att detta är sant genom att summera ögonblick om punkt A = noll (antag positivt moturs) $$ \ begin {align} T_2r-T_1r & = 0 \\ T_2-T_1 & = 0 \\ \ därför T_2 & = T_1 \ end {align} $$
Nu om remskivan inte är friktionsfri ( det finns friktion mellan remskivan och sladden), då måste mannen applicera en större kraft för att stödja lådan (eftersom du stöder lådan och en del av din kraft försvinner på grund av friktion) (systemet här är också i jämvikt). Det betyder att $ T_1 $ är större än $ T_2 $, men denna situation uppfyller inte jämviktsekvationen (summering av ögonblick om punkt A = noll) eftersom $ T_1 > T_2 $
Vad är mitt misstag när jag analyserar båda situationerna?
Detta är ett löst exempel i min statistikbok 
Svar
Du tänker på friktionen fel.
Friktion motsätter sig relativ rörelse. Varför skulle mannen måste dra hårdare om det finns friktion i remskivan?
Med hjälp av spärrfreak har jag rensat upp resten. Friktion är motsatt rörelse. Om din applicerade kraft ($ F_a $) är densamma som vikten av din massa ($ F_m = mg $) så finns det ingen relativ rörelse att försöka motsätta: $$ T_1 = F_a = T_2 = F_m = mg $$
Om $ F_a < F_m $ men $ F_m – F_a \ leq F_ {f_ {static}} $ så kan den fortfarande balansera som: $$ T_1 = F_a = T_2 – F_ {f_ {static}} = mg $$
vilket innebär att du faktiskt behöver använda mindre kraft om det finns friktion.
Jag skissade en FBD för att illustrera hur ögonblicken och allt kommer att balansera. Observera att detta är ungefärligt eftersom friktionen faktiskt skulle spridas o över linans kontaktyta. Observera också att jag inte tror att du vanligtvis skulle oroa dig för friktion i rep-remskivans gränssnitt. Jag tror att lagret i remskivan vanligtvis skulle motstå eftersom idealiskt sett remskivan faktiskt roterar med repet.
Kommentarer
- Kommentarer är inte för längre diskussion; den här konversationen har flyttats till chatt .
Svar
Det finns två möjliga friktionskällor, inte en – om det inte är klart kan du bli förvirrad. Så låt oss börja från grunderna.
Först kan sladden glida fritt eller uppleva friktion, glida på remskivan. För det andra (och jag vet att din fråga sa ”ignorera detta”) kan remskivan vrid fritt eller upplev friktion som glider på stången som stöder den. Vi kommer att behandla de två friktionskällorna som om de agerade som en källa vad det gäller sladden men det är viktigt att lägga märke till att det kan finnas och kan behöva noggrant övervägas.
(En tredje punkt skulle vara vinkelmomentet / tröghetsmomentet för själva remskivan, om remskivan var tung och behövde betydande energi för att börja vända när sladden rör sig på den, men vi kommer också att ignorera detta, och anta en lätt remskiva.)
Jag har inte ritprogramvara här, men ditt svar går så här:
Grundekvation: Net Force = massa x acceleration. ($ F = mA $)
Krafter på lådan
Det finns två krafter som verkar på lådan. En kraft på grund av tyngdkraften (kalla den $ W $) nedåt och spänning i strängen (kall det $ T $) uppåt . Lådan är i jämvikt så $ W = T $. Kraften på grund av tyngdkraften som verkar på en massa $ m $ är $ mg $, så $ W $ kan lätt räknas ut som $ W = mg $. Eftersom lådan är i jämvikt är $ T $, spänningen i sladden, densamma som denna i storlek, så $ T = W = mg $.
Krafter som verkar på sladden / spänningen i sladd
Sladden (något förenklad som vanligt för frågor på denna nivå) är också i jämvikt, så ur sladdens perspektiv upplever den tre krafter som också balanserar I den ena änden, kraften på lådan, i den andra änden kraften på grund av att mannen drar och i mitten, någon statisk friktionskraft från kontakten med remskivan (som finns när sladden inte rör sig).Det kan finnas några eller inga. Men om det finns en friktionskraft kommer den att motstå sladdens rörelse, så den kommer att fungera motsatt väg till vilket sätt sladden annars skulle röra sig.
Villkor för jämvikt
Antag att remskivan kan utöva en kraft på sladden på grund av friktion, upp till ett belopp på $ N $ newton. Vad som händer är då detta:
Mannen drar med kraft $ F $. Men sladden är i jämvikt. Nettokraften från att dra och från lådans vikt är $ FW $, och eftersom den är i jämvikt måste den vara ”tillräckligt liten”, mellan $ + N $ och $ -N $, annars kan friktion inte ”t ge tillräckligt med kraft för att balansera det och det kommer inte att förbli statiskt i jämvikt.
Så kom ihåg att $ W = mg $, villkoret är att:
$$ – N \ leq F – mg \ leq N $$
Lägga till $ mg $ till alla termer:
$ mg – N \ leq F \ leq mg + N $
och dela upp detta i separata förhållanden och ordna om:
$ F \ geq mg – N $ och $ F \ leq mg + N $
Vi kan inte göra mer för i frågan beror den kraft som mannen behöver för att upprätthålla jämvikt på två saker – lådans massa och den maximala kraften möjlig på grund av friktion, och vi har inte någon information för att utarbeta någon av dessa längre.
Så vad detta säger på engelska är att den kraft mannen måste tillämpa måste vara ” tillräckligt nära ”till $ mg $, kan den friktionen leverera resten av balanseringskraften som behövs för jämvikt. Om friktionen inte gav någon kraft ($ N = 0 $) skulle du få $ F = mg $ vilket är den exakta lösningen för en friktionsfri remskiva.
Kommentarer
- Det finns fyra krafter som verkar på sladden, den fjärde är den normala kraften (som appliceras av remskivan på sladden). Är det sant?
- Ja men situationen gör det Sladden som vilar på remskivan har inte ' t rörelsefrihet att röra sig på något sätt utom tangentiell mot remskivan vid alla kontaktpunkter eftersom punkterna där någon normal kraft uppstår kan ' t rör sig i normal riktning av inställningens natur (eftersom det skulle betyda att de sjunker ner i remskivan, flyttar remskivan eller svävar av remskivan). Så normalerna måste alltid vara balanserad, friktion eller ingen friktion. Så varje rörelse eller obalanserad kraft måste bara vara tangentiell = > på grund av spänning.